1.3.3 Распределение Госсета (“Стьюдента”). T-критерий.

Пусть имеется некоторая выборка объемом n из генеральной совокупности, подчиняющейся нормальному распределению со средним . Тогда оказывается, что величина

, (1.13)

где -истинное значение всей совокупности, подчиняется распределению Стьюдента и характеризуется t-критерием с числом степеней свободы f =(n-1). t-распределение симметрично относительно среднего, равного нулю, а его дисперсия равна . Это распределение приемлемо лишь при n >20.

Критерий Стьюдента характеризует отношение отклонения среднего данной выборки от истинно-среднего генеральной совокупности к стандартному отклонению (см. приложение А, таблица А.2). t-критерий используют для оценки значимости различий средних значений двух нормальных выборок. Критерий Стьюдента (t-критерий) применяются для определения значимости выборочных коэффициентов корреляции, выборочных коэффициентов регрессии и др., а также доверительных интервалов неизвестного.

Если расчетное значение t-критерий при выбранном уровне значимости больше табличных значений, то гипотеза должна быть отвергнута. Если t_p<t_т , то гипотеза принимается.

Пример. Проводятся две серии испытаний на деформируемость (удлинение) капроновой нити: исходной и подвергнутой термической обработке. Полученные результаты приведены ниже:

1) Исходная нить 17,5; 17,8; 17,4; 17,5; 17,7; =17,58

2) Термообработанная нить 16,2; 16,7; 16,3; 16,9; 16,0; =16,42.

Очевидно, что - = 1,16. Случайно ли различие в деформируемости нити до и после термической обработки, или же здесь проявляется эффект термофиксации структуры нити?

Из приведенных данных следует, что

= 10,810^-2 и =54,7210^-2.

Поэтому

;

t_p = .

В соответствии с таблицей А.2 приложения А значение t_т = 6,4 соответствует вероятности ошибочного решения менее 1%. Поэтому разница (х₁-х₂) существенна и можно принять гипотезу, что различия в деформируемости определяются эффектом термофиксации.

1.3.4 Распределение Кохрена (g - критерий)

Напомним, что выборочная дисперсия s² - это дисперсия, вычисленная по данным выборки, т.е. значениям х_i, наблюдаемым в последовательности некоторого (ограниченного) числа экспериментов. Для проверки однородности выборочных дисперсий результатов параллельных опытов в случае выборок одинакового объема применяется критерий Кохрена. Он характеризует отклонение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий по параллельным опытам:

G_p= . (1.14)

Если G_p <G_т, то сравниваемые дисперсии однородны (приложение А, таблица А.3).

1.3.5 Распределение Фишера (f-критерий)

Когда необходимо проверить значимо ли различие между дисперсиями двух нормальных выборок, применяют F-критерий:

F_p . (1.15)

Значения этой функции для уровней значимости 0,05 и 0,01 табулированы при соответствующих степенях свободы, f , каждой из двух дисперсий (приложение А, таблица А.4).

Пример. Для задачи о капроновой нити ; . Значение F_p Согласно таблице А.4 приложения А при f₁ = f₂ = 5-1 = 4 для доверительной вероятности 0,05 F_т =6,39. Таким образом, F_p <F_т и гипотеза о влиянии термофиксации на деформируемость нити должна быть принята.

Пример анализа случайных величин

1. Провести обработку результатов определения содержания хлора в поливинилхлориде, выполненного по различным методикам.

2. Сопоставить результаты расчетов двух независимых анализов:

а) установить адекватность распределений;

б) сравнить точность анализов;

в) сравнить средние;

г) сделать выводы.

3. На основе полученных выводов сравнить методики анализов.

Таблица 1.1 Содержание хлора в поливинилхлориде

№ определения	Анализ 1	Анализ 2
	Концентрация NaCNS, %
1	51,30	51,30
2	52,30	53,20
3	56,30	50,10
4	51,20	50,10
5	51,40	49,10
6	51,20	46,50
7	51,40	49,00
8	52,10	51,00
9	50,20	52,00
10	51,50	51,10
11	52,10	51,90
12	50,10	50,90
13	50,90
14	50,60
15	51,10
16	51,00

Ход решения.

1. Подсчитываем среднее значение случайных величин в первом анализе:

n₁=16; ; ; .

2. Составляем таблицу

Таблица 1.2 Промежуточные результаты расчетов

№ определения	хi	хi-	(хi- )2	Примечание
1	51,30	-0,24	0,0576
2	52,30	0,76	0,5776
3	56,30	4,76	19,4018	отбросить
4	51,20	-0,34	0,1156
5	51,40	-0,14	0,0206
6	51,20	-0,34	0,1156
7	51,40	-0,14	0,0196
8	52,10	0,56	0,3136
9	50,20	-1,34	1,7956
10	51,50	-0,04	0,0016
11	52,10	0,56	0,3136
12	50,10	-1,44	2,0736
13	50,90	-0,64	0,4096
14	50,60	-0,94	0,8836
15	51,10	-0,44	0,1936
16	51,00	-0,54	0,2916

3. Из таблицы определяем сумму квадратов отклонений, дисперсию и среднее квадратичное отклонение, являющееся оценкой экспериментальной ошибки:

;

; ;

4. Находим грубые ошибки: 3 31,41 = 4,23

Грубой ошибкой следует считать третий член ряда случайных величин, т.к.  3 ; 4,76 > 4,23

5. Повторно составляем таблицу и подсчитываем , s² и s без третьего члена ряда (таблица 1.3):

n₁=15 ; ; ; ; .

6. Определяем грубые ошибки: 3s₁=1,74.

Грубых ошибок нет.

7. Определяем статистические ошибки:

 ошибка репрезентативности:

; .

Таблица 1.3 Промежуточные результаты расчетов

без ошибочного измерения № 3

№ определения	хi	хi-	(хi- )2
1	51,30	0,07	0,0049
2	52,30	1,07	1,1449
4	51,20	-0,03	0,0009
5	51,40	0,17	0,0289
6	51,20	-0,03	0,0009
7	51,40	0,17	0,0289
8	52,10	0,87	0,7569
9	50,20	-0,03	0,0009
10	51,50	0,27	0,0729
11	52,10	0,87	0,7569
12	50,10	-1,13	1,2769
13	50,90	-0,33	0,1089
14	50,60	-0,63	0,3969
15	51,10	-0,13	0,0169
16	51,00	-0,23	0,0529

С_s – показатель точности определения выборочной средней: С_s= t 100%.

Для уровня значимости  = 0,05 и числа степеней свободы (f=n-1=15) критерий Стьюдента t = 2,145. Тогда С_s= 0,63%, что вполне приемлемо (считается хорошо, если С_s 3-5%).

Доверительный интервал составит:  =  t :

₁= 2,1450,15; ₁= 0,32.

Таким образом, 95% всех измерений по первой методике находятся в интервале 0,32: 50,91 … 51,55.

8. Рассчитываем - критерий для данного ряда случайных величин:

^{; .}

9. Аналогичную обработку проводим для второго ряда измерений (таблица 1.4):

=12 ; ; ; ; ;

3s₂=5,25. Грубых ошибок нет. ; С_s= 2,18%. Средняя определена достаточно точно.

Таблица 1.4 Промежуточные результаты расчетов

№ определения	хi	хi-	(хi- )2
1	51,30	0,78	0,6084
2	53,20	2,68	7,1824
3	50,10	-0,42	0,1764
4	50,10	-0,42	0,1764
5	49,10	-1,42	2,0164
6	46,50	-4,02	16,1604
7	49,00	-1,52	2,3104
8	51,00	0,48	0,2304
9	52,00	1,48	2,1904
10	51,10	0,58	0,3364
11	51,90	1,38	1,9044
12	50,90	0,38	0,1444

Доверительный интервал:

₂ =  2,2010,5 = 1,10, 49,42 … 51,62.

^.

10. Сопоставим результаты расчетов двух независимых анализов. а) Установим адекватность распределений:

=0,09; =0,66. Для обоих анализов принимаем нулевую гипотезу о том, что распределение отклонений случайных величин от среднего происходит по нормальному закону:

[p = 0,05; f = n-1 = 15-1 = 14] = 23,685;

[p = 0,05; f = n-1 = 12-1 = 11] = 19,675.

Следовательно: < и < ^.

Таким образом, нулевая гипотеза в обоих случаях не отвергается: распределения имеют адекватный характер (подчиняются нормальному закону распределения). Адекватность распределений позволяет производить дальнейшее сравнение рядов.

б) Сравним точности анализов. Для этого примем нулевую гипотезу о том, что разница в точности двух анализов возникла случайно, а не появилась в результате различий в методиках:

F_расч .

F_табл. [ = 0,05; f₁ = n₂-1 = 12-1 = 11; f₂ = n₁-1 = 15-1 = 14] = 2,60.

Поскольку F_расч  F_табл., нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернатива о том, что точности анализов различаются, и это различие нельзя объяснить случайными причинами.

Таким образом, наибольшая точность достигнута в первом анализе, и это различие статистически достоверно.

в) Сравним средние. Для этого определим значение критерия Стьюдента:

,

где: S_d - ошибка разности между выборочными средними:

;

;

t_р= .

Принимаем нулевую гипотезу о том, что разница между средними результатов анализов возникла случайно. Находим табличное значение критерия Стьюдента: t [ =0,05; f = n₁+n₂-2 = 15+12-2 = 25] = 2,060.

Так как t_расч.< t_табл., нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. Результаты обработки сведем в таблицу 1.5.

Таблица 1.5 Сопоставление результатов обработки измерений

Параметр	Анализ 1	Анализ 2
n s2 Сs	15 0,33 51,230,58 51,230,32 0,15 0,63%	12 3,04 50,521,75 50,521,10 0,50 2,18%

11. Выводы:

а) Метод, использованный в первом анализе, дает большую точность.

б) Сравнение средних показало, что обе методики дают одинаковый результат.

в) Следовательно, обе методики можно использовать, но при использовании второй методики для повышения точности конечных результатов число измерений по каждому опыту (параллельных опытов) необходимо увеличить.