1.6 Основные понятия и определения теории турбулентного движения
Основные понятия турбулентного движения и некоторые его характеристики были рассмотрены в курсе гидромеханики.
Турбулентный поток представляется совокупностью вихрей или вихреподобных образований различного размера от больших, соизмеримых с характерными размерами системы, в которой происходит течение, до мелких, при которых преобладающим становится влияние сил вязкости.
Параметры турбулентного потока – скорость, давление, температура и т.д. – изменяются во времени. Поэтому турбулентные течения являются нестандартными или квазистационарными, если средние значения вышеназванных физических величин не изменяется во времени.
В качестве примера на рис. 1.14 показано изменение во времени температуры квазистационарного турбулентного потока в его произвольной точке.
(1.222)
Рис.1.14. Изменение температуры T жидкости во времени в фиксированной точке турбулентного потока
В общем случае для
произвольной функции
можно записать
. (1.223)
(1.224)
Принятый метод сравнения предполагает, что повторное осреднение осреднённой величины не приводит к её изменению, или
(1.225)
Средняя амплитуда пульсаций определяется следующими характеристиками:
; 
; 
(1.226)
Важной характеристикой турбулентного потока является степень интенсивности турбулентности – отношения квадратного корня из средних квадратичных пульсаций скорости к местной или общей осреднённой скорости потока:
(1.227)
где
- осреднённое значение местной или общей
осреднённой скорости.
Отношение средней квадратичной пульсации составляющих вектора скорости в данной точке турбулентного потока к осреднённому значению скорости в той же точке называется степенью турбулентности (intensity of turbulence):
(1.228)
В теории турбулентности для описания статистических характеристик потока пользуются и другими величинами – определяемые как моменты.
Кинетическая
энергия осреднённого потока в
рассматриваемой точке
. (1.229)
Значение
- сумма одноточечных моментов второго
порядка. Значения
- моменты второго порядка, характеризующие
энергию пульсационного движения по
координатным направлениям.
Энергия пульсационного движения в единице объёма или средняя плотность кинетической энергии пульсационного движения определяется формулой
. (1.230)
Полная энергия турбулентного потока равна сумме энергий осреднённого и пульсационного движения
. (1.231)
Уравнения для
энергии пульсационного движения
(в зарубежной литературе обозначенной
k)
и скорости диссипации этой энергии
используются
для выражения турбулентного переноса
часто применяемой
-
модели турбулентности:
(1.232)
осреднённого турбулентного движения:
(1.239)
Иначе полученные уравнения можно представить следующим образом
(1.240)
Системы уравнений (1.239), (1.240) носят название дифференциальных уравнений осреднённого турбулентного движения (уравнений Рейнольдса).
Если уравнения Рейнольдса сравнить с уравнениями движения сплошной среды в напряжениях
(1.241)
то соответствующие компоненты напряжений системы (1.240) для среднего турбулентного движения можно представить в виде суммы вязких напряжений, определённых обобщённым законом Ньютона, и дополнительных турбулентных напряжений, возникших из-за пульсаций:
(1.242)
Новые слагаемые в уравнениях Рейнольдса
(1.243)
- дополнительные турбулентные напряжения.
Сопоставление уравнений Рейнольдса и уравнений Навье-Стокса показывает, что первые отличаются от вторых лишь членами, учитывающими дополнительные турбулентные напряжения.
Турбулентные напряжения, как и вязкие, составляют симметричный тензор – тензор турбулентных напряжений
(1.244)
Рассмотрим уравнение энергии. При умеренной скорости движения несжимаемого потока и отсутствии внутренних источников теплоты уравнение энергии может быть записано в виде
(1.245)
Так как для
несжимаемого потока
то
(1.246)
Поэтому исходное уравнение представим следующим образом:
(1.247)
После осреднения при ρ = const и cp = const оно примет вид
(1.248)
Как и раньше,
заменяем действительные величины u,
υ,
w,
T
суммой равных им значений средних и
пульсационных величин. Затем, применяя
правила осреднения, вычисляем
Подставляя найденные
значения
,
в уравнение энергии, представляем его
следующим образом:
(1.249)
После преобразований левой части уравнения (1.249) оно может быть записано в виде
(1.250)
В уравнении энергии для осредненного турбулентного движения (1.250) появились дополнительные члены, которые учитывают перенос теплоты в турбулентном потоке, обусловленный пульсационным движением:
(1.251)
Итак, для осреднённого турбулентного движения и энергии получена следующая система уравнений, определяющая все осреднённые параметры турбулентного потока
(1.252)
Система уравнений (1.252) является незамкнутой, т.к. число входящих в неё неизвестных превышает число уравнений. Поэтому решить эту систему без дополнительных условий или уравнений, связывающих осреднённые произведения пульсаций скорости и температуры невозможно.