При стационарном поле температур

T_c = T_c (x, y, z). (1.124)

Распределение температуры может быть равномерным или неравномерным. В наиболее простом случае равномерного и стационарного распределения температуры стенки

T_c = const. (1.125)

Граничные условия второго рода (neumann′s boundary condition) заключаются в задании плотности теплового потока на поверхности теплообмена как функции координат и времени

q_c = q_c (x, y, z, t). (1.126)

В простейшем случае q_c = 0.

В общем случае конвективного теплообмена поля температур в стенке и движущейся среде существенно зависят друг от друга, и заранее неизвестно ни распределение температуры на границе среда – твердое тело, ни плотности теплового потока на поверхности теплоотдачи. Тогда решают одновременно задачу о распределении температуры и в среде, и в стенке - сопряженную задачу. Для ее решения, кроме отмеченных дифференциальных уравнений, необходимо иметь условия сопряжения температурных полей на границе среда – твердое тело (стенка).

Таким образом, условия сопряжения в общем случае – условия, выражающие свойство непрерывности поля температуры и закон сохранения энергии на поверхности соприкосновения тела и среды (двух тел или сред) в форме равенства температур и плотностей теплового потока тела и среды (в обоих телах или средах)за счет теплопроводности

n = ± 0 T_с = Т_ж или Т_c(x_c, y_с, z_c, t), (1.128)

(1.129)

Для сопряженной задачи условия сопряжения являются фактически граничными условиями.

Задачи конвективного теплообмена могут быть значительно упрощены, если действительный трехмерный процесс удаётся представить двух- или одномерным. Именно одномерное описание процесса теплообмена по закону Ньютона-Рихмана достигается введением коэффициента теплоотдачи.

Температура идеального газа при стационарном адиабатическом течении среды, при отсутствии массовых сил, изоэнтропически приведенного в состояние покоя (температура заторможенного потока – stagnation temperature), определяется следующим образом:

(1.130)

где Т₀ – температура заторможенного потока; Т – термодинамическая температура среды.

В безразмерном виде температура заторможенного потока

(1.131)

Заметим, что в формуле (1.115) использовано преобразование

, (1.134)

В реальных условиях скорость сжимаемого газа на поверхности стенки равна нулю. Однако его температура может быть равна температуре торможения лишь при определённых условиях. Связано это с тем, что сложные процессы диссипации, взаимного преобразования энергии, а также сжатия или расширения газа сопровождаются переносом теплоты между слоями газа. Причём, этот процесс будет существовать и при отсутствии теплообмена между стенкой и газом, когда её поверхность теплоизолирована. Поэтому температура газа у стенки и равная ей температура стенки в общем случае не будут равны температуре торможения. При этом температура газа вблизи теплоизолированной стенки носит название адиабатной (adiabatic wall temperature) температуры и обозначается . Адиабатная температура стенки определяется уравнением

, (1.136)

где r – коэффициент восстановления температуры (recovery factor for temperature), T₁ – термодинамическая температура во внешнем потоке в случае внешнего обтекания тел или средняя массовая температура в данном сечении потока в случае течения в трубах.

Из уравнения (1.136) следует

(1.137)

или с учётом (1.130)

. (1.138)

Величина r зависит от соотношения количества теплоты, выделяющегося за счёт диссипации механической энергии и отвода теплопроводностью и конвекцией. Если количество подведённой теплоты превышается отведённое r > 1, наоборот, количество отведённой теплоты больше подведённой, то r < 1; если оба количества равны, то .

Коэффициент восстановления температуры зависит от числа Прандтля сжимаемой жидкости (газа). Например, для пластины при ламинарном движении сжимаемой жидкости в пограничном слое

, (1.139)

а при турбулентном

. (1.140)

При выделение теплоты трения в слое распределение температуры жидкости значительно изменяется и существенно отличается от ранее рассмотренных распределений. На рис. 1.1 в качестве примера показано изменение температуры жидкости в пограничном слое на пластине на определённом расстоянии x от её переднего края при различных условиях. Температура жидкости во внешнем потоке обозначена .

Рис. 1.1. Распределение температуры в пограничном

слое сжимаемой жидкости (газа)

Из представленных распределений видно, что теплообмен между поверхностью пластины (стенкой) и потоком сжимаемой жидкости существует лишь при кривых 1, 2, 3, 4, 5, т.е. в тех случаях, когда температура стенки не равна адиабатной. При Т_с = Т_a.с (кривая 2), для которой теплообмена через стенку нет. Однако во всех вариантах представленных распределений существует теплообмен внутри жидкости, т.к. при y > 0 градиент температуры не равен нулю.

Поверхность будет отдавать тепло при Т_с > T_а.с. На рис. 1.1 этот случай соответствует кривой 1, для которой и q_c > 0.

Распределение температуры, описываемое кривой 1, соответствует случаю подвода теплоты к стенке изнутри. Поверхность будет получать теплоту при Т_с < T_a.c (кривые 3-5), когда и q_с < 0, т.е. теплота от жидкости поступает в стенку.

Таким образом, при движении сжимаемой жидкости тепловой поток направлен от стенки в газ, если и от газа к стенке, если .

При расчете теплоотдачи при высоких скоростях движения потока также применяют уравнение Ньютона – Рихмана, в котором термодинамическую температуру среды Т заменяют на адиабатную

q_c = α (T_a.c – T_c) (1.141)

или

. (1.142)

При адиабатической теплоизоляции поверхности T_a.c = T_с и q_c = 0. При малых скоростях и формула (1.126) принимает обычный вид

q_c = α (T₁ – T_c),