1.2.3 Уравнение энергии

Уравнение сохранения энергии для рассматриваемого объема жидкости τ в гидромеханике записывалось следующим образом:

, (1.76)

По формуле Остроградского – Гаусса интеграл по поверхности заменяем интегралом по объему:

(1.77)

где векторы напряжений поверхностных сил, приложенных к граням, нормальным соответственно осям Ох, Oy, Oz.

Представляем полученный результат в уравнение (1.76), считая подынтегральную функцию всех интегралов по одному и тому же произвольному объему непрерывной, уравнение сохранения энергии запишем в виде

, (1.78)

где – результирующее количество теплоты, подводимое в единицу времени к единице объема среды извне и внутренними источниками теплоты: электрическими, химическими и т.п.

Используя уравнение движения сплошной среды в напряжениях, запишем

(1.79)

Имея в виду, что

заменяем величину в уравнении энергии и после несложных преобразований представляем его в виде

(1.80)

где

(1.81)

Уравнению (1.80) можно придать и другой вид.

Записываем уравнение (1.80) в проекциях на координатные оси, а затем, заменив по обобщенному закону Ньютона компоненты тензора напряжений компонентами тензора скоростей деформаций, представляем уравнение энергии в новом виде

(1.82)

или

(1.83)

Иначе

(1.84)

где

– компоненты тензора скоростей деформаций.

Сумма носит название диссипативной функции и обозначается

(1.85)

Диссипативная функция была введена Рэлеем.

С использованием диссипативной функции, уравнение (1.84) может быть представлено следующим образом:

(1.86)

Заметим, что произведение – часть мощности внутренних поверхностных сил вязкой жидкости, которая необратимо за счет вязкого трения превращается в теплоту. Этот член в уравнении энергии при большой скорости движения потока и резком изменении ее в пределах пограничного слоя у обтекаемой поверхности может иметь существенное значение.

В соответствии с уравнением сплошности

(1.87)

Заменив по формуле (1.87) и учитывая, что

, (1.88)

представим уравнение (1.86) в виде

(1.89)

Если пренебречь переносом теплоты радиацией (излучением), то подвод теплоты к элементу среды будет определяться только теплопроводностью и внутренними источниками.

= Q_υ – Q_т , (1.91

(1.92)

Используя преобразование Остроградского- Гаусса, запишем

. (1.93)

Тогда равенство (1.92) представим в виде

(1.94)

Ввиду произвольности выбора рассматриваемого объема среды

(1.95)

Плотность теплового потока теплопроводности по закону Фурье прямо пропорциональна градиенту температуры

(1.96)

Поэтому

(1.97)

Подставляя значение в уравнение (1.86) можем записать их в виде

(1.98)

При умеренных скоростях движения потока, пренебрегая изменением давления и мощностью внутренних поверхностных сил вязкой капельной жидкости, превращаемой в теплоту, по сравнению с его энтальпией, уравнение энергии можно представить в виде

(1.110)

или

(1.111)

Разделив полную производную от температуры по времени на локальную и конвективную составляющие, последнее уравнение представляем так

(1.112)

или следующим образом:

. (1.113)

В проекциях на координатные оси последнее уравнении примет вид

.

(1.114)

Если коэффициент теплопроводности среды можно считать величиной постоянной, то

(1.115)

или

(1.116)

где – коэффициент температуропроводности среды (thermal diffusivity), м² / с.

В проекциях на координатные оси уравнение (1.116) примет вид

. (1.117)

При отсутствии внутренних источников теплоты последнее уравнение упростится

. (1.118)

Для стационарного процесса уравнение (1.113) имеет вид

(1.119)

Так при λ = const

(1.120)

при λ = const и q_υ = 0

(1.121)

Из уравнения (1.115) видно, что в движущейся с умеренной скоростью сплошной среде температурное поле в общем случае зависит от компонент скорости, физических характеристик λ, ρ, c_p и мощности внутренних источников теплоты q_υ.

Уравнения энергии, движения и сплошности составляют систему дифференциальных уравнений конвективного теплообмена. К этим уравнениям необходимо добавить уравнение теплоотдачи, включающее неизвестную (искомую) величину – коэффициент теплоотдачи

(1.122)

Вышеназванные уравнения в общем случае содержат 10 неизвестных: α, T, p, ρ, μ, c_υ, λ, q_υ. Для того чтобы замкнуть систему уравнений конвективного теплообмена и теплоотдачи, необходимо к ним присоединить уравнения, описывающие свойства жидкости и физические особенности рассматриваемой задачи.

Для выделения данной рассматриваемой конкретной задачи (её математической постановки) к системе дифференциальных уравнений конвективного теплообмена необходимо присоединить условия однозначности или краевые условия, которые должны содержать описание всех частных особенностей процесса, т.е. конкретизировать задачу.

Граничные условия первого рода (dirichlet′s boundary condition) состоят в задании распределения температуры по поверхности теплообмена, т.е. в общем случае в задании функции

T_c = T_c (x, y, z, t), (1.123)

где T_c – температура поверхности теплообмена (стенки).