Кут між прямою і площиною.

Нехай задані пряма з направляючим вектором і площина Ax+By+Cz+D=0 з нормальним вектором

Кут між прямою і площиною - це кут між цією прямою та її проекцією на цю площину:

(3.11)

якщо “+” - кут гострий;

якщо “-“ - кут тупий.

Приклад. Найти гострий кут між прямою

і площиною 2x+y-z+4=0.

Розв’язок. Направляючий вектор прямої:

.

Нормальний вектор площини:

Підставив ці координати в (3.11) маємо

Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площі

Умови паралельності прямої та

площі Ax+By+Cz+D=0  :

Am+Bn+Cp=0 (3.12)

Умова перпендикулярності прямої і площі

(3.13)

Відстань від крапки до прямої

Нехай дані крапка й пряма

П ід відстанню d від крапки М₀ до прямої АВ розуміється довжина перпендикуляра M₀D, опущеного із крапки M₀ на пряму АВ.

(3.14)

Приклад. Знайти відстань між паралельними прямими й .

Рішення. Поберемо на одній із прямих, наприклад на прямій довільну крапку Е(12,0). Тоді шукана відстань дорівнює відстані від крапки Е до прямої : .

Завдання для самоконтроля.

1. Найти рівняння площі, що проходить через точку Р(2; -4; -2) перпендикулярно прямій

Відповідь: 5x-10y-9z-68=0.

2. Найти рівняння прямої, що проходить через точку А(2; 1; 6) і перпендикулярна площі

x-4y+5z-1=0

Відповідь:

Взаємне розташування прямої і площі.

Нехай задані площа Ax+By+Cz+D=0 і пряма

Для визначення точки перетину рівняння прямої записують в параметричній формі

(3.15)

Після ці x, y, z підставляють в рівняння площі:

A(x₀+tm)+B(y₀+tn)+C(z₀+tp)+D=0, або

Ax₀+By₀+Cz₀+t(A_m+B_n+C_p)+D=0,

звідки

. (3.16)

Приклад. Задані пряма і площа 2x+y+z-6=0. Найти точку їх перетину.

Розв’язок. Запишемо рівняння прямої в параметричній формі

(*)

Підставляємо ці x, y, z в рівняння даної площі

2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0;

4+2t+3+t+4+2t-6=0;

5t+5=0; t=-1.

Підставимо отримані значення t в (*), тим самим найдемо координати точки перетину заданих прямої і площі:

x=2-1=1;

y=3-1=2;

z=4-2=2.

Відповідь: (1; 2; 2).

Тема 4. Криві другого порядку

1. Еліпс.

Еліпс представляє собою результат рівномірної деформації окружності уздовж одного з її діаметрів.

Е ліпсом називається геометричне місто точок, для яких сума відстань від двох фіксованих точок площі, званих фокусами, є постійна величина.

F₁ и F₂ – фокуси еліпса, F₁(-c; 0); F₂(c;0).

Відстань між ними - 2С.

Візьмемо довільну точку еліпса M(x, y). Обозначимо F₁M=r₁ F₂M=r₂.

Тоді F₁M+F₂M=r₁+r₂=2a, де

- фокальні радіуси точки М.

Канонічне рівняння еліпса:

(4.1)

де b²=a²-c².

Це рівняння другого ступеня  еліпс є лінія другого порядку. Еліпс симетричний відносно обох осей координат.

Ексцентриситетом еліпса називається відношення відстані між фокусами до довжини великий осі

(4.2)

Так як c<a, то <1.

Ексцентриситет характеризує форму еліпса. Чим більше ексцентриситет, тим більше еліпс витягнутий (у разі окружності b =a і =0).

Дві прямі, перпендикулярні до великої осі еліпса і розташовані симетрично щодо центру на відстані від нього, називаються директрисами еліпса.

Рівняння директрис: , (4.3)

Приклад 1. Знайти півосі, координати фокусів і ексцентриситет еліпса

x²+2y²=8.

Розв’язок. Приведемо рівняння еліпса до канонічного виду, для цього розділимо обидві частини рівняння на 8:

Таким чином

Приклад 2. Написати канонічне рівняння еліпса, довжина малої осі якого дорівнює 6, а фокусна відстань дорівнює 8: 2b=6; 2c=8.

Розв’язок:

2b=6  b=3

Відомо, що 2c=8  c=4.

a²=b²+c²; a²=9+16=25,

запишемо рівняння еліпса