Завдання для самоконтролю.

1. Дан еліпс 9x²+25y²=225.

Знайти: 1) його півосі;

2) фокуси;

3) ексцентриситет;

4) рівняння директриси.

Відповідь: 1) 5 и 3;

2. F₁(-4; 0) и F₂(4; 0);

3. =4/5;

4. x=25/4.

2. Скласти рівняння еліпса, знаючи, що

1. його велика вісь дорівнює 10, а відстань між фокусами 2с=8;

2. його мала вісь дорівнює 6, а відстань між директрисами дорівнює 13;

3. його велика вісь дорівнює 20, а ексцентриситет =3/5.

Відповідь: 1)

2)

3)

2. Гіпербола.

Гіперболою називається геометричне місце точок, для яких різниця відстаней від двох фіксованих точок площині, званих фокусами, є постійна величина.

F1(-c; 0) и F2(c;0) – фокуси; М(x, y) довільна точка гіперболи. F1M=r1; F2M =r2 - фокальні радіуси F1F2=2c; ,

Канонічне рівняння гіперболи:

(4.4)

де b²=c²-a².

Гіпербола - лінія другого порядку, симетрична щодо осей координат.

Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами цієї гіперболи до відстані між її вершинами.

(4.5)

так як c>a, то >1.

Прямокутник із сторонами 2а і 2b, розташований симетрично щодо осей гіперболи і торкається її в вершинах (A₁ і A₂), називається основним прямокутником гіперболи.

Ексцентриситет гіперболи характеризує форму її основного прямокутника, а значить, і форму гіперболи: чим менше ексцентриситет, тим більше витягнутий основний прямокутник.

Дві прямі, перпендикулярні до тієї осі гіперболи, яка її перетинає, і розташовані симетрично щодо центру на відстані від нього, називаються директрисами гіперболи.

(4.6)

Гілки гіперболи (2.1) як завгодно близько наближаються до прямих

(4.7)

які називаються асимптотами гіперболи.

Дві гіперболи, які визначаються рівняннями

називаються сполученими.

Гіпербола з рівними півосями (a = b) називається рівнобічною; її канонічне рівняння має вигляд x²-y²=a² або -x²+y²=a².

Приклад 1. Дана гіпербола 16x²-9y²=144.

Знайти: 1) півосі a і b;

2) фокуси;

3) ексцентриситет;

4) рівняння асимптот;

4. рівняння директриси.

Розв’язок.

1) Приведемо рівняння гіперболи до канонічного виду, розділивши обидві частини рівняння на 144. Отримаємо:

Тоді a=3; b=4.

2) Знаючи півосі a і b, можемо знайти c зі співвідношення

b²=c²-a²

16=c²-9

c²=25

c=5.

Тоді фокуси даної гіперболи мають координати

F₁(-5,0) і F₂(5,0).

3) Ексцентриситет тепер легко визначити за формулою (4.5) .

4) Рівняння асимптот по (4.7)

5) Рівняння директрис по (4.6)

Приклад 2. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої розташовані на осі абсцис симетрично відносно початку координат, знаючи, крім того, що: її осі 2а=10 і 2b=8;

1. відстань між фокусами 2с=10 і ось 2b=8;

2. відстань між фокусами 2с=6 і ексцентриситет =3/2;

3. ось 2а=16 і ексцентриситет =5/4;

4. рівняння асимптот y=4/3x і відстань між фокусами 2с=20;

5. відстань між директрисами дорівнює і відстань між фокусами 2с=26.

Розв’язок:

1. 2а=10 і 2b=8. Звідки а=5; b=4.

Рівняння гіперболи:

2) 2с=10 и 2b=8.  c=5; b=4.

З b²=c²-a² знайдемо a:

16=25-а²; а²=25-16

а²=9; а=3.

Рівняння гіперболи:

3. 2с=6 и =3/2.

c=3;

Рівняння гіперболи:

4. 2а=16 и =5/4

а=8  5/4 = c/8  c=10

b²=c²-a²=100-64=36; b=6

Рівняння гіперболи:

5. 

Рівняння гіперболи:

6) 2с=26; ;

с=13;

13а=144, а =

Рівняння гіперболи: .