3 Методика математического моделирования

Разработка математической модели состоит из следующих этапов:

• предварительная постановка задачи моделирования;

• анализ характеристик объекта моделирования;

• постановка задачи моделирования;

• гипотеза о механизме процесса (концептуальная модель);

• формализация и классификация переменных модели;

• формализация зависимостей модели;

• разработка процедуры решения модели;

• параметрическая идентификация;

• проверка адекватности.

1. Предварительная постановка задачи моделирования чаще всего осуществляется заказчиком или руководством проекта по созданию автоматизированной системы управления. Она содержит объект и цель моделирования. Предполагается, что модель разрабатывается для класса объектов.

2. Анализ характеристик объекта управления включает:

• анализ субстрата объекта (из чего объект состоит);

• исследование структуры объекта (как он устроен);

• исследование взаимодействия объекта с внешней средой;

• рассмотрение порядка функционирования объекта (внутренних превращений, в ходе которых на основе входных воздействий формируются выходные).

Анализ субстрата и структуры объекта необходим для понимания его внутреннего устройства.

Исследование взаимодействия объекта с внешней средой предполагает выделение входных и выходных воздействий. При наличии устройства управления (при создании математической модели для задач управления) из входных воздействий выделяют управляющие. Кроме того, воздействия классифицируют на измеримые и неизмеримые (в дальнейшем в модели невозможно будет использовать неизмеримые величины в качестве входных и выходных переменных). Воздействия также делятся на непрерывные и дискретные.

Исследование порядка функционирования объекта призвано раскрыть внутреннюю взаимосвязь между входом и выходом объекта.

Устройство объекта изображается в виде структурных схем, а порядок функционирования – в виде функциональных. Кроме анализа внутренних преобразований объекта, необходимо определить:

• изменяется ли объект во времени (стационарный и нестационарный);

• характер процессов (детерминированный или случайный);

• тип зависимости (линейный или нелинейный).

Нелинейные зависимости объекта характеризуются с помощью рисунка 3.1.

Рисунок 3.1 – Иллюстрация нелинейных зависимостей объекта

[x₀;x₁] – участок нечувствительности (нелинейность);

[x₁;x₂] – участок линейной зависимости;

[x₂;x₃] – участок нелинейной зависимости типа насыщения.

Самой тяжелой в управлении остается нелинейность, представленная на рисунке 3.2:

Рисунок 3.2 – Петля Гистерезиса

Нелинейность такого вида получила название «Петля Гистерезиса». Ограничиваемая ею площадь характеризует энергию, которую нужно приложить к ОУ, чтобы преодолеть силы инерции. Физически кривая Гистерезиса означает, что при увеличении аргумента ОУ движется про траектории 1-2-3, а при уменьшении – по траектории 3-4-1.

Анализ характеристик ОУ осуществляется на основе изучения разнообразной литературы (учебники, специальные издания и т.д.), общения с экспертами, физического моделирования.

3. Постановка задачи моделирования осуществляется на основе анализа характеристик объекта моделирования. Она должна содержать формулировку: «разработать математическую модель определенного вида с заданной целью». Например, разработать детерминированную нелинейную модель прогноза нагревания заготовки в электропечи.

4. Гипотеза о механизме процесса (концептуальная модель).

В рамках создания модели на основе постановки задачи разработчик формирует свое представление о процессах на объекте. При этом с целью упрощения модели принимается ряд допущений и вводятся некоторые ограничения. Например, частью явлений можно пренебречь, для некоторых явлений ввести определенный характер протекания (в частности, выделить в объекте зоны однородности), задать диапазоны изменения для некоторых величин (ограничения).

Гипотеза о механизме процесса должна быть обязательно согласована с заказчиком (экспертом по данному объекту моделирования) с целью установления ее адекватности (нельзя упростить существенные моменты функционирования или сильно их исказить). От адекватности гипотезы напрямую зависит адекватность модели.

5. На основе гипотезы и анализа характеристик определяется набор переменных модели, среди которых выделяют:

• входные (включая управляющие);

• выходные;

• переменные состояния (внутренние переменные модели).

Все входные и выходные переменные должны быть измеримыми.

Входные и выходные переменные определяются с информационной точки зрения (например, вход – количество принятых таблеток аспирина, а выход – температура тела). Переменные также делятся на дискретные и непрерывные.

6. Формализация зависимостей модели проводится на основе гипотезы с помощью математического аппарата, соответствующего характеру процессов (явлений).

Для стационарных объектов это будут системы линейных алгебраических уравнений, для ограничений – системы неравенств, для нестационарных – уравнения, описывающие изменение во времени. Если величина непрерывная, то используются обыкновенные дифференциальные уравнения или уравнения в частных производных, иначе выражения содержат случайные величины или случайные процессы (например, стохастические дифференциальные уравнения). Если зависимость линейная, то математические формулы – линейные операторы, иначе нелинейные. В итоге для объекта результатом формализации является математический оператор, позволяющий для набора входных переменных рассчитать значения выходных переменных и состояний.

7. Для получения выходных переменных на основе входных требуется реализация процедуры решения модели. Очень редко модели решаются аналитически. Обычно разрабатывается расчетный алгоритм на основе подходящего численного метода.

Для моделей со случайными характеристиками разрабатывается имитационная модель, позволяющая моделировать процесс функционирования объекта, эмулируя случайные характеристики.

8. Поскольку модель разрабатывается для класса объектов, частные характеристики конкретного объекта формализуются в виде параметров модели. Поиск значений этих параметров называется параметрической идентификацией.

Параметрическая идентификация является самостоятельной теорией и обладает своими методами. В общем случае, она включает следующие этапы:

• проведение эксперимента (определение значений выходных переменных на объекте на основе входных переменных);

• выбор функционала ошибки (критерий, который определяет степень близости значений выходных переменных объекта и модели);

• разработка процедуры поиска экстремума функционала ошибки и нахождения значений неизвестных параметров.

Примером метода параметрической идентификации является метод наименьших квадратов, позволяющий для функции найти значения параметров b₀,..,b_n на основе информационной матрицы.

9. Разработанная модель должна пройти исследование на предмет того, как точно она описывает моделируемый объект. Для этого на объекте проводят эксперимент по измерению выходных переменных и сравнивают значения модели и объекта при одинаковых значениях входных переменных. С этой целью применяется один из критериев (например, модуль разности значений или относительная погрешность). Модель считается адекватной, если статистические оценки отношений значений выходных переменных удовлетворяют определенным условиям (например, относительная погрешность < 5%).

Примечание: для параметрической идентификации и проверки адекватности проводят два разных эксперимента.

Если модель не адекватна, то возможен возврат на этап параметрической идентификации либо на этап гипотезы о механизме процесса. В самых плохих случаях приходится проводить более глубокий анализ характеристик объекта.

Контрольные вопросы:

1. Какие основные этапы входят в методику математического моделирования?

2. Каковы задачи анализа характеристик объекта моделирования?

3. Как формулируется постановка задачи моделирования?

4. Зачем нужна гипотеза о механизме процесса?

5. Как формализуются переменные модели?

6. На основе чего разрабатывается структура модели?

7. Каков смысл параметров модели и как находятся их значения?

8. Как проверяется адекватность модели?