Определитель матрицы.
Понятие
определителя матрицы вводится только
для квадратных матриц. Рассмотрим
квадратную матрицу первого порядка
.
Этой матрице можно поставить в соответствие
то число, которое составляет данную
матрицу, оно называется определителем
первого порядка и обозначается
.
Для
матрицы второго порядка
число равное 
.
Определителем третьего порядка называется число, которое соответствует матрице третьего порядка и равно:
.
Рассмотрим
некоторый элемент
квадратной матрицы. Вычеркнув ее
строку и
столбец, получим матрицу, которая имеет
порядок на единицу меньше. Определитель
полученной матрицы называется минором
элемента
.
Число
называется алгебраическим дополнением
элемента
.
Например,
для матрицы
число
является алгебраическим дополнением
элемента
Так,
определителем
порядка назовем число:
.
Вычисление определителей осуществляют непосредственно по определению либо с использованием свойств определителей. Перечислим свойства определителей:
1. Знак определителя изменится, если поменять местами две строки или два столбца определителя.
2. Определитель с двумя одинаковыми строчками или столбцами равен нулю.
3. Если все элементы какой-либо строки или какого-либо столбца определителя равны нули, то определитель равен нулю.
4. Определитель, у которого две строки или два столбца пропорциональны, равен нулю.
5. Определитель матрицы не меняет своего значения при ее транспонировании.
6. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, причем в одном из них соответствующий строка (столбец ) состоит из первых слагаемых, а в другом – из вторых слагаемых.
7.Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на одинаковое число, то определитель измениться в это число раз.
8. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одинаковое число, определитель не изменится.
9. Любой определитель можно разложить по элементам некоторой его строки (столбца). При этом определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. На основе этого свойства мы ввели понятие определителя порядка.
Перечисленные свойства могут быть использованы для вычисления определителей.
Например, разложим определитель четвертого порядка по второй строке:
.
Обратная матрица.
При
решении матричных уравнений вида
возникает необходимость выразить
матрицу
из указанных равенств. С этой целью
осуществляется нахождение матрицы,
обратной матрице
.
Матрица
обратной
квадратной матрице
,
если выполняется условие:
.
В линейной алгебре вопросы существования
и единственности обратной матрицы
решаются на основе соответствующих
теорем. Сформулируем их и примем без
доказательства. Доказательства этих
теорем можно найти в учебной литературе
.
Теорема 1: Необходимое и достаточное условия существования обратной матрицы.
Для
того чтобы существовала матрица
,
обратная матрице
,
необходимо и достаточно, чтобы матрица
была
невырожденной (имела определитель
отличенный от нуля). Обратная матрица
находится по формуле:
,
Теорема 2: Единственность обратной матрицы.
Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.
Например, если необходимо найти матрицу обратную матрице
,
выясним сначала, существует ли для данной матрицы обратная матрица. И затем найдем ее. Для этого найдем определитель данной матрицы.
существует.
Вычислим алгебраические дополнения
ко всем элементам исходной матрицы:
Составим
обратную матрицу:
.
Сделаем проверку:
.
В результате умножения полученной обратной матрицы и исходной матрицы получилась соответствующая единичная матрица . Значит, обратная матрица вычислена правильно.
Рассмотрим
порядок нахождения обратной матрицы
для матрицы
.
Найдем определитель:
.
Следовательно, для данной матрицы существует обратная матрица . Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы :
Составим обратную матрицу:
Сделаем проверку:
.
Обратная матрица найдена правильно. Вернемся к решению матричных уравнений.
Рассмотрим
уравнение вида
Умножим обе части данного равенства
слева на матрицу, обратную матрице
.
Получим,
.
Отсюда ,
.
Аналогично
решим уравнение вида
Только
в этом случае обе части равенства умножим
на матрицу обратную матрице
справа.
,
,
.
Заметим, что матричное уравнение имеет
решение лишь в том случае, когда матрица
.
Например, решим матричное уравнение
.
Найдем
матрицу обратную матрице
и умножим обе части уравнения слева на
эту обратную матрицу. Найдем определитель
и алгебраические дополнения к элементам
матрицы
.
.
Решим еще одно матричное уравнение:
В
этом случае целесообразно определить
порядок матрицы
.
Согласно определению операции умножения
матриц, матрица
имеет
порядок
.
Найдем ее. Для этого найдем определитель
и алгебраические дополнения к элементам
матриц
ы
,
а также составим для нее обратную
матрицу.
,
,
.
Найдем
матрицу
Теория матриц занимает особое значение в решении систем линейных алгебраических уравнений.