Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Среди методов решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используют три метода: метод Гаусса, метод Крамера и матричный метод. Рассмотрим каждый из них.

1. Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Это осуществляется с помощью приведения расширенной матрицы системы к трапециевидной форме с использованием элементарных преобразований. Само построение трапециевидной формы расширенной матрицы называется прямым ходом метода Гаусса.

В результате выполнения прямого хода метода Гаусса возникает возможность сразу исследовать систему на совместность. Практически прямой ход метода Гаусса и исследование системы на совместность это одно и тоже.

Далее, в случае совместности системы, выполняется обратный ход метода Гаусса. Неизвестные находим, использую трапециевидную расширенную матрицу. Начиная с нижней строки, выражаем все неизвестные в обратном порядке. Так, выполним обратный ход для системы

Используем уже преобразованную к трапециевидной форме, расширенную матрицу системы:

.

Из последней строки находим:

Например, решим систему

методом Гаусса. Составим расширенную матрицу: .

С помощью элементарных преобразований сведем ее к трапециевидной форме. Сначала поменяем местами первую и третью строки .

Добавим ко второй строке первую строку, умноженную на К третьей строке добавим первую строку, умноженную на . И к четвертой строке добавим первую строку, умноженную на .

Получим: .

Разделим третью строку на 5 и поменяем ее местами со второй строкой .

К третьей строке добавим вторую строку, умноженную на , а к четвертой строке добавим вторую строку, умноженную на

.

Третью строку умножим на

К четвертой строке добавим третью строку, умноженную на 2 .

Разделим четвертую строку на . В итоге таких элементарных преобразований мы свели расширенную матрицу системы к трапециевидной форме

Таким образом, мы выполнили прямой ход метода Гаусса и кроме этого, можем провести исследование исходной системы на совместность. Так система совместна (число ненулевых строк основной и расширенной матриц одинаково и равно четырем) и имеет единственное решение (число ненулевых строк равно числу неизвестных, которых тоже четыре).

Теперь выполним обратный ход метода Гаусса. Используя полученную трапециевидную матрицу, выразим последовательно все неизвестные, начиная с последней строки, то есть с .

Матрица

соответствует системе

.

В обратном порядке

;

;

.

Решением системы является упорядоченный набор чисел .

Метод Гаусса является универсальным и может быть использован для решения любых совместных систем и для определения того, что система не имеет решений в случае ее несовместности.

2. Метод Крамера используется только для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, которые имеют невырожденную основную матрицу.

Рассмотрим квадратную систему .

Если эта система невырожденная, то есть определитель ее основной матрицы не равен нулю, тогда систему можно решить, вычислив определитель порядка. Неизвестные определяются по формулам Крамера . Один из этих определителей - определитель основной матрицы, – определители, которые получают заменой столбца в определителе основной матрицы системы столбцом свободных членов:

;

;

;

.

Рассмотрим пример решения системы методом Крамера.

Найдем определители: ;

; ;

Неизвестные найдем по формулам Крамера: