Неопределённый и определённый интегралы

I. При определении производной некоторой функции F(х) необходимо найти некоторую функцию f (x), такую, что f (x)= F' (х).

Часто необходимо решать обратную задачу: если задана функция f(x), то необходимо найти такую функцию F (х), производная которой равна f (x), т.е. F' (х)= f (x). Функция F (х) называется первообразной от функции f (x), и она всегда находится с точностью до произвольной постоянной С.

F(х)+С называется неопределённым интегралом и обозначается как:

Нахождение первообразной F (х) для данной функции f (x) называется интегрированием функции f (x).

В таблице 3 приведены первообразные F (х) простых функций f (x).

Таблица 2.

№ п/п	Подынтегральная функция f (x).	Первообразная F (х)
1.	xn (n ≠ -1)	x n+1/(n+1)
2.	1/x=x - 1	ℓn ‌‌‌/x /
3.	sinx	-cosx
4.	cosx	sinx
5.	ex	ex

II. Некоторые свойства неопределённых интегралов.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: , где а-постоянная.

Пример:

2. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции:

3. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

4. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная С:

Пример:

5. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов:

III. В курсе физики понятие определённого интеграла вводится при вычислении пути s, проходимого телом с переменной скоростью υ, или же работы A, совершаемой переменной силой F :

Выражение вида , составленное для значений х, заключённых в пределах от a до b, называют определённым интегралом от функции f(x), взятым по переменной х между нижним пределом х=а и верхним пределом х=b, и обозначают символом

.

Из курса высшей математики известно, что интеграл вида =

представляет собой площадь фигуры, ограниченной осью х, перпендикулярами, восстановленными к ней из точек х=а и х=b, и кривой y(x) ( рис.10). В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Таким образом,: - путь, пройденный телом от момента времени t₁ до момента времени t₂, численно равен площади под зависимостью v(t) от t=t₁ до t=t₂.

- работа, совершённая переменной силой F(s) на участке пути s=s₂ -s₁.

- работа, совершаемая идеальным газом при изменении объёма от V₁ до V₂.

IV.ПРАВИЛА РАСЧЕТА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА:

а).

Примечание: =0.

б).

в). = + + – теорема о

разбиении интеграла.

Примечание: точки b,c принимают значения между a и d. Интервал

a – d можно разбить на произвольное число подынтервалов.

ПРИМЕР: на тело действует внешняя сила F=3·t²(H). Чему равно изменение модуля импульса тела за промежуток времени от t₁=1c до t₂=2c?

РЕШЕНИЕ. Согласно второму закону Ньютона можно записать dp=F·dt. Найдём изменение модуля импульса, введя обозначения p(t₁)=p_1, p(t₂)=p₂ и проинтегрировав уравнение движения:

;

.