V. Контрольные вопросы

1. Дайте определение первообразной F (x) от некоторой функции f(x).

2. Почему неопределённый интеграл называется неопределённым?

3. Как вычисляется определённый интеграл ?

4. В чём заключается геометрический смысл определённого интегра-

ла (рассмотрите работу расширения идеального газа на

p -V – диаграмме)?

VI. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Частице в момент времени t = 0 с сообщили скорость v₀, после чего ее скорость стала меняться со временем по закону: v=v₀·(1 – t/a), где а – положительная постоянная.

Найти перемещение ∆r за первые τ секунд движения.

2. Вычислить работу силы F = 2000·x при сжатии пружины вдоль оси х на 5см.

3. При некотором процессе давление идеального газа изменяется по закону p =3/V, где V – объем газа. Чему равна работа при этом процессе, если объем газа возрастает в 2,71828 раз ?

4.Момент внешней силы, действующей на частицу, определен выражением:

Чему равен момент импульса частицы ?

Примечание: воспользоваться выражением для основного закона динамики вращательного движения: .

Интегрирование уравнений движения

Если уравнение содержит производные неизвестной функции, оно называется дифференциальным уравнением. Если оно содержит только первую производную, то говорят, что это уравнение первого порядка. Когда в него входит и вторая производная, то это дифференциальное уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения является не число, как в обычных уравнениях, а такая функция f(x), которая при подстановке в данное уравнение дает тождество.

Решение дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Решим, например, уравнение вида:

, где а – константа.

1 шаг – разделение переменных:

.

2 шаг – интегрирование:

ℓny = a∙x + C, где С – константа.

Далее, y = exp(a∙x + C) = e^ax ∙e^C = C₁ ∙e^ax (ввели обозначение e^C = C₁).

Вследствие произвольности константы С₁ уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Единственное решение получается при задании т.н. начальных условий.

Пусть, например, при х = 0 у = b. Тогда из этого условия определим С₁: y(х=0) = b = C₁ ∙e⁰ . С₁ = b.

В этом случае решение имеет вид: y = b∙ e^ax.

В механике уравнением движения тела с постоянной массой является второй закон Ньютона вида:

. (1)

Обычно рассматривается такая задача: частица массы m движется под действием силы .

В момент t=0 известны начальные условия: радиус-вектор и скорость . Надо найти положение частицы в произвольный момент времени t, т.е. зависимость от времени t.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Движение под действием упругой силы F_x= – k·x (пружинный маятник c массой груза m и жёсткостью пружины k). Согласно (1) уравнение движения имеет вид . Если учесть, что , получим: . (2)

В курсе высшей математики доказывается, что общее решение этого уравнение имеет вид:

, (3)

где , и описывает гармонические колебания с частотой ω.

Примечание: убедиться прямой подстановкой (3) в (2), что выражение (3) действительно является решением уравнения (2).

2.Движение тела при наличии силы сопротивления F_x= – η·v_x ,

где η – коэффициент сопротивления среды.

Уравнение движения, согласно (1), имеет вид:

.

Разделяем переменные :

.

Интегрируем это уравнение с учётом начальных условий:

и получаем .

Так как , то

(4)

Интегрируя (4): получим ответ:

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. На частицу действует сила F_x = c∙t². Найти зависимость координаты частицы х от времени.

2. На частицу действует сила F_x = – c∙ . Найти зависимость координаты частицы х от времени.

3. На частицу действует сила F_x = c∙sin(ω·t). Найти зависимость координаты частицы х от времени.

В задачах 1-3 масса частицы равна m; с и ω – постоянные.

Начальные условия: в момент времени t = 0

x(0) = 0; v_x(0) = v₀ .