Метод дифференцирования и интегрирования

В вузе одним из основных методов решения физических задач является метод дифференцирования и интегрирования (ДИ), в основе которого лежат:

1) принцип представления физического закона (формулы) в дифференциальной форме;

2) принцип суперпозиции для аддитивных величин.

Предположим, что физический закон имеет вид: К=L·M (1),

где K,L,M – некоторые физические величины. Причем выражение (1) справедливо только тогда, когда L является величиной постоянной.

Примеры таких выражений: m= ρ·V; ℓ=v·t; А=F_x ·Δx; A=p·ΔV; U=R·I; Ф=B·S , где ρ - плотность вещества, v - скорость, F_x - сила ,

p - давление газа, R - электрическое сопротивление, B - индукция магнитного поля являются постоянными. Список таких выражений можно продолжить.

Но как применять этот закон (1), если L изменяется и является некоторой функцией от M, т.е. L=L(M)?

Выделим столь малый промежуток dM изменения величины M, чтобы на этом промежутке можно было пренебречь изменением величины L (рис.11).

Рис.11

Тогда на участке от M до M+dM можно приближенно считать

L(M) постоянным и, следовательно, условия применимости выражения (1) на участке dM выполняются и можно записать:

dK=L(M)·dM , (2)

где dK равна площади заштрихованной полоски на рис.11.

Значение величины K для интервала изменения величины M от M₁ до M₂ получим просуммировав (проинтегрировав) все величины dK:

. (3)

Метод ДИ является универсальным и необходимым как при изучении теории, так и при решении задач в вузе. В механике с его помощью рассчитывают работу переменной силы, моменты инерции тел, при изучении физических полей определяют силовые характеристики и потенциалы полей, созданных неточечными массами и электрическими зарядами, макротоками и т.д.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Определим массу цилиндрического стержня длиной ℓ и диаметром основания d, если плотность вещества ρ изменяется от нижнего основания с координатой х₁=0 до верхнего с координатой х₂=ℓ по закону ρ=3·х (рис.12).

Рис. 12

РЕШЕНИЕ. Мы не можем рассчитать массу по известной из школьного курса физики формуле: m=ρ·V (1.1), так как плотность вещества ρ величина переменная. Применим метод ДИ:

Выделим на стержне на произвольном расстоянии х от нижнего основания столь малый участок dх, что в пределах объема dV= заштрихованного цилиндрического слоя плотность вещества ρ(x) изменяется незначительно. Тогда для расчета массы dm этого слоя можно воспользоваться формулой (1.1): dm=ρ(x)·dV=3·х· .

Если разбить весь стержень на такие же цилиндрические слои, то масса всего стержня получится в результате суммирования (интегрирования) всех элементарных масс dm (принцип суперпозиции):

.

Пример 2. Тонкий прямой стержень длиной ℓ равномерно заряжен электрическим зарядом Q. На продолжении оси стержня на расстоянии а от одного из его концов (рис.13) расположен точечный заряд q. Определить силу взаимодействия стержня и заряда .

РЕШЕНИЕ. В данном случае силу взаимодействия зарядов нельзя определить непосредственно из закона Кулона, справедливого для взаимодействия точечных зарядов. Чтобы его можно было использовать рассмотрим бесконечно малый элемент длины dx, находящийся на расстоянии r от заряда q. Заряд dQ этого элемента можно считать точечным и его легко определить из пропорциональности заряда стержня Q и его длины ℓ:

По закону Кулона на заряд q со стороны заряда dQ будет действовать сила, равная

и направленная так, как показано на рис.12.

Со стороны всех остальных бесконечно малых элементов стержня на заряд q также будут действовать элементарные силы, направленные в ту же сторону, что и . Сложив их модули (применив принцип суперпозиции) найдем результирующую силу действия всех заряженных элементов стержня (заряда Q) на заряд q:

Вычислив интеграл окончательно получим:

Пример 3. Найти момент инерции I тонкого однородного кольца радиусом r и массой m относительно оси Ox, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр (т.О).

РЕШЕНИЕ. Мы не можем непосредственно применить формулу для расчета момента инерции точечной массы m: I=m·r².

Разобьем кольцо на бесконечно малые участки массой dm (один

из них приведен на рис.14).

Поскольку кольцо однородно, то массу выделенного участка найдем, поделив полную массу m кольца на угол 2·π и умножив на dφ:

Расстояние этого участка от оси 0x равно y=r·sinφ.

Участок кольца массой dm можно считать материальной

точкой, момент инерции которой относительно оси 0x равен:

Так как момент инерции величина аддитивная, то можно применить принцип суперпозиции для определения момента инерции кольца. Складываем моменты инерции всех участков, т.е., интегрируем полученное выражение в пределах от 0 до 2·π:

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. Вычислить момент инерции тонкой шайбы массой m, имеющей внутренний радиус R₁ и внешний радиус R₂ , относительно оси, проходящей через центр масс шайбы перпендикулярно ее плоскости.

2. Плоский диск радиуса R несет электрический заряд Q, равномерно распределенный по его поверхности. Чему равен потенциал φ электрического поля на оси диска на расстоянии а от его центра?

3. Вычислить электрическое сопротивление проводника в виде шарового слоя с внутренним радиусом R₁ и внешним радиусом R₂, если удельное сопротивление проводника изменяется по закону ρ= 2/r³, где r – расстояние от центра шарового слоя.