Тема. Приріст аргументу і приріст функцій. Задачі, які приводять до поняття похідної. Означення похідної, механічний та геометричний зміст

Якщо змінна величина х змінила своє значення від х₀ до х₁, то різниця між її новим значенням і початковим називається приростом аргументу і позначається символом ∆х (читається: «дельта ікс»). Таким чином, ∆х = х₁ - х₀, звідки випливає,

що х₁ = х₀ + ∆х. Кажуть також, що початкове значення аргументу х₀ одержало приріст ∆х.

Внаслідок цього значення функції зміниться на величину

f(х₁) - f(х₀).

Ця різниця називається приростом функції в точці х₀, відповідним до приросту ∆х, і позначається символом ∆у (читається: «дельта ігрек») або ∆f (читається: «дельта эф»).

∆у = ∆f(x) = f(х₁) - f(х₀)

∆у = f(х₀ + ∆х) - f(х₀).

х(t) – координата х точки в момент часу t

Дотичною до кривої в даній точці М називається граничне положення січної MN.

Коли точка N наближається до точки М (рухаючись по графіку функції у = f(х)), то величина кута NМТ наближається до величини кута нахилу дотичної МА до осі Ох.

Оскільки tg NМТ = , то

tg =

у = f(х)

Похідною функції у = f(х) у точці х₀ називається

Границя відношення приросту функції в точці х₀ до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

Значення похідної в точці х₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х₀ і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної.

(Кут відлічується від додатного напрямку осі Ох проти годинникової стрілки)

k - кутовий коефіцієнт дотичної

- рівняння дотичної до графіка функції у точці з абсцисою х₀