Тема. Похідна складної функції

План

Похідна складної функції.

1. Нехай потрібно обчислити за даним значенням х відповідне значення z функції h, заданою формулою

z = h(х)= .

Для цього треба спочатку обчислити за даним х значення

у =f(х)= 1-х²,

а потім вже за цим у обчислити

z = g(у)=

Отже, функція f ставить у відповідність числу х число у, а функція g - числу у число z. Говорять, що h є складна функція, складена з функцій g і f, і пишуть:

h(х) = g (f(х)).

Щоб обчислити значення складної функції h(х) = g (f(х)) у довільній точці х, спочатку обчислюють значення у «внутрішньої» функції f у цій точці, а потім g (у).

Яка область визначення складної функції g (f(х))? Це - множина всіх тих х з області визначення функції f, для яких f (х) входить в область визначення функції g.

У розглянутому прикладі областю визначення функції f є вся числова пряма. Значення h(х) визначене, якщо значення f (х) належить області визначення функції g(у) = . Тому потрібно, щоб виконувалася нерівність в 0, тобто 1 - х² 0, і, виходить, область визначення функції g (f (х)) - це відрізок [-1; 1].

Формула похідної складної функції.

У попередніх пунктах ви навчилися знаходити похідні раціональних функцій, зокрема многочленів. Однак задача обчислення похідної функції f(х) = (2х+3)¹⁰⁰, хоча й зводиться до знаходження похідної многочлена, вимагає дуже великого об'єму роботи: треба представити (2х+3) у вигляді многочлена та продиференціювати 101 доданок отриманої суми. Можна помітно спростити рішення цієї та інших задач.

Якщо функція f має похідну в точці х₀, а функція g має похідну в точці у₀ = f(х₀), то складна функція h(х) = g (f(х)) також має похідну в точці х_о, причому

h′(х_о) = g′ (f(х_о)) f′(х_о).

Приклад 1. Знайдемо похідну функції h(х) = (2х+3)¹⁰⁰.

Функцію h можна представити у вигляді складної функції h(х) = g (f(х)), де g(у) = у¹⁰⁰, у = f(х) = 2х+3.

Тому що f′(х) = 2 і g′ (у) = 100у⁹⁹, маємо

h′(х) = 2* 100у⁹⁹ = 200(2х+3)⁹⁹.

Таблиця похідних
Похідні елементарних функцій		Похідні складних функцій
1
2
3
4	, х 0	, х 0
5
6
7
8
9
10
11	, a > 0, a - стала
12	,
13	, , a - стала
14	на ОДЗ правої частини формули