Тема. Опуклість та гнучкість функції. Дослідження функції на опуклість та точку перетину

1. Поняття другої похідної

Поняття

Запис

Приклад

Нехай функція у = f(х) має похідну f ´(х) в усіх точках деякого проміжку. Ця похідна, у свою чергу, є функцією аргументу х. Якщо функція f ´(х) є диференційованою, то її похідну називають другою похідною від f(х) і позначають (або )

у = f(х) ,

,

.

у = х⁵

5х⁴

2. Поняття опуклості і точок перетину диференційованої на інтервалі (a; b) функції

Функція f(х) називається опуклою вниз на інтервалі (a; b), якщо для будь - якої точки х₀ із цього інтервалу при всіх х (a; b) і графік функції лежить вище дотичної до цього графіка в точці ( ).

Функція f(х) називається опуклою вгору на інтервалі (a; b), якщо для будь - якої точки х₀ із цього інтервалу при всіх х (a; b) і графік функції лежить нижче дотичної до цього графіка в точці ( ).

Точка М графіка неперервної функції f(х), у якій існує дотична і при переході через яку крива змінює напрям опуклості, називається точкою перегину графіка функції. У точці перегину графік функції переходить з одного боку дотичної до іншого.

Абсцису х₀ точки М перегину графіка функції f(х) називають точкою перегину функції f(х) . Точка х₀ розділяє інтервали опуклості функції.

3. Властивість графіків опуклих функцій

Якщо функція f(х) опукла вниз на інтервалі (a; b) і М₁ та М₂ - точки її графіка на цьому інтервалі, то на інтервалі (х₁;х₂) графік функції у = f(х) лежить нижче відрізка М₁М₂, тобто графік лежить нижче хорди.

Якщо функція f(х) опукла вгору на інтервалі (a; b) і М₁ та М₂ - точки її графіка на цьому інтервалі, то на інтервалі (х₁;х₂) графік функції у = f(х) лежить вище відрізка М₁М₂, тобто графік лежить вище хорди.

4. Достатні умови опуклості функції, що має другу похідну на заданому інтервалі (a; b)

Умова опуклості вниз

Умова опуклості вгору

Якщо на інтервалі (a; b) двічі диференційована функція f(х) має додатну другу похідну (тобто при всіх х (a; b)), то її графік на інтервалі (a; b) спрямований опуклістю вниз.

Якщо на інтервалі (a; b) двічі диференційована функція f(х) має від’ємну другу похідну (тобто при всіх х (a; b)), то її графік на інтервалі (a; b) спрямований опуклістю вгору.

5. Знаходження точок перегину функції, що має другу похідну на заданому інтервалі

Необхідна умова

Достатня умова

У точках перегину функції f(х) її друга похідна дорівнює нулю або не існує.

Н ехай функція f(х) має на інтервалі (a; b) другу похідну. Тоді, якщо змінює знак при переході через х₀, де х₀ (a; b), то х₀ - точка перегину функції f(х).

6. Дослідження функції на опуклість і точки перегину

Схема

Приклад

1. Знайти область визначення функції.

Дослідіть функцію f(х) = х⁴ – 4х³ – 18х² + 1 на опуклість і точки перегину.

1. Область визначення: D(f) = R.

Функція f(х) неперервна в кожній точці своєї області визначення (як многочлен).

2. Знайти другу похідну.

2.

3. Знайти внутрішні точки області визначення, у яких друга похідна дорівнює нулю або не існує

3. існує і неперервна на всій області визначення функції f(х).

12(х² – 2х - 3) = 0; х₁ = - 1; х₂ = 3

4. Позначити одержані точки на області визначення функції, знайти знак другої похідної і характер поведінки функції на кожному з інтервалів, на які розбивається область визначення.

5. Записати потрібний результат дослідження (інтервали і характер опуклості і точки перегину).

На інтервалах і графік функції спрямовано опуклістю вниз ( ), а на інтервалі - опуклістю вгору ( ). Точки перегину: х = -1 і х = 3 (у цих точках змінює знак).