1. Ознака паралельності площин

Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Теорема 2.4. Якщо дві прямі, які перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим другої площини, то ці площини паралельні.

Доведення. Нехай α иβ — дані площини, а₁ і а₂ - дві прямі в площині α, що перетинаються в точці А, b₁ і b₂ відповідно паралельні їм прямі в площині β (мал. 15).

Припустимо, що площини α иβ не паралельні, тобто перетинаються по якій-небудь прямій с. По теоремі 2.3 прямі а₁ і а₂, які паралельні прямим b₁ і b₂, паралельні площини β, і тому вони не перетинають пряму с, що лежить у цій площині. Таким чином, у площині α через крапку А проходять дві прямі (а₁ і а₂), паралельні прямій с. Але це неможливо за аксіомою паралельності. Ми прийшли до суперечності. Теорема доведена.

Мал. 15

2. Існування площини, паралельної даній площині

Теорема 2.5. Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.

Доведення. Проведемо в даній площині α які-небудь дві прямі а й b, що перетинаються (мал. 16). Через дану точку А проведемо паралельні їм прямі а₁ і b₁. Площина β, що проходить через а₁ і b₁, по теоремі 2.4 паралельна площини α.

Припустимо, що через точку А проходить інша площина β₁ також паралельна площини α (мал. 17). Позначимо на площині β₁ довільну точку С, що не лежить у площині β. Проведемо площину γ через точки А, С и яку-небудь крапку В площини α. Ця площина перетне площини α, β і β₁ по прямим а, b і с. Прямі а й с не перетинають пряму b, оскільки не перетинають площину α. Отже, вони паралельні прямій b. Але у площині γ через точку А можна провести тільки одну пряму, паралельну прямій b. Ми прийшли до суперечності. Теорема доведена.

Мал. 16 Мал. 17

3. Властивості паралельних площин

Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні (мал. 18).

Дійсно, по визначенню паралельні прямі — це прямі, що лежать в одній площині й не перетинаються. Наші прямі лежать в одній площині — січній площині. Вони не перетинаються, тому що не перетинаються паралельні площини, що містять їх. Отже, прямі паралельні, що й було потрібно довести.

Відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами, рівні.

Дійсно, нехай α₁ і α₂ - паралельні площини, а й b - паралельні прямі, що їх перетинають, А₁, А₂ і В₁, В₂ - точки перетину прямих з площинами (мал. 19). Проведемо через прямі а й b площину. Вона перетинає площини α₁ і α₂ по паралельних прямих А₁В₁ і А₂В₂. Чотирикутник А₁ В₁ В₂ А₂ – паралелограм, тому що в нього протилежні сторони паралельні. А в паралелограма протилежні сторони рівні. Отже, А₁А₂= В₁В₂, що й було потрібно довести.

Мал. 18 Мал.19

Розв’язання задач на паралельність

1. Доведіть, що коли прямі АВ і СD мимобіжні, то прямі АС і ВD також мимобіжні.

2. Можна чи через точку С, яка не належить мимобіжним прямим а і b, провести дві різні прямі, кожна з яких перетинає прямі а і b? Відповідь поясніть.

3. Доведіть, що всі прямі, що перетинають дві дані паралельні прямі, лежать в одній площині.

4. Прямі а і b перетинаються. Доведіть, що всі прямі, які паралельні прямій b і перетинають пряму а, лежать в одній площині.

5. Через кінці відрізка АВ і його середину М проведено паралельні прямі, що перетинають деяку площину в точках А₁, В₁ і М₁. Знайдіть довжину відрізка ММ₁, якщо відрізок АВ не перетинає площину (рис. 20) і якщо: 1) АА₁ = 5м, ВВ₁ = 7м; 2) АА₁ =3,6 дм, ВВ₁=4,8дм;

3) АА₁= 8,3 см, ВВ₁ = 4,1 см; 4) АА₁ =а, ВВ₁ = b.

6.* Розв'яжіть попередню задачу за умови, що відрізок АВ перетинає площину.

М

Мал. 20 Мал. 21

7. Через кінець А відрізка АВ проведено площину. Через кінець В і точку С цього відрізка проведено паралельні прямі, що перетинають площину в точках В₁ і С₁. Знайдіть довжину відрізка ВВ₁, якщо: 1) СС₁ = 15 см, АС:ВР = = 2:3; 2) СС₁= 8,1 см, АВ:АС = 11:9; 3) АВ=6 см, АС : СС₁ = 2:5; 4) АС = а, ВР = b, СС₁= с.

8*. Дано паралелограм АВСD і площину, яка не перетинає його. Через вершини паралелограма проведено паралельні прямі, які перетинають дану площину в точках А₁, В₁, С₁, D₁ (рис.21). Знайдіть довжину відрізка DD₁, якщо: 1) АА₁ = 2м, ВВ₁=3м, СС₁=8м; 2) АА₁=4м, ВВ₁=3_М, СС₁ = 1 м; 3) АА₁= а, ВВ₁ = b, СС₁ = с.

9. Прямі а і b не лежать в одній площині. Чи можна провести пряму с, паралельну прямим а і b?

10. Точки А, В, С, D не лежать в одній площині. Доведіть, що пряма, що проходить через середини відрізків АВ і ВС, паралельна прямій, яка проходить через середини відрізків АD і СD.

11.Доведіть, що середини сторін просторового чотирикутника є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині).

12.Дано чотири точки А, В, С, D, які не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі, що з'єднують середини відрізків АВ і СD, АС і ВD, АD і ВС, перетинаються в одній точці.

13. Дано трикутник АВС. Площина, паралельна прямій АВ, перетинає сторону АС цього трикутника в точці А₁, а сторону ВС — у точці В₁. Знайдіть довжину відрізка А₁В₁ якщо: 1) АВ = 15 см, АА₁:АС = 2:3; 2) АВ = 8 см, АА₁ : А₁С = 5:3; 3) В₁С = 10 см, АВ : ВР = 4:5; 4) АА₁=а, АВ= b, А₁С = с.

14. Через дану точку проведіть пряму, паралельну кожній з двох даних площин, які перетинаються.

15. Доведіть, що коли площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу.

16. Доведіть, що через будь-яку з двох мимобіжних прямих можна провести площину, паралельну другій прямій.

17. Доведіть, що коли дві площини, які перетинаються по прямій а, перетинають площину α по паралельних прямих, то пряма а паралельна площині α (рис. 22).

18. Доведіть, що коли пряма перетинає одну із двох паралельних площин, то вона перетинає й другу.

19. Доведіть, що через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини.

20. Через дану точку простору проведіть пряму, яка перетинає кожну із двох мимобіжних прямих (рис. 23). Чи завжди це можливо?

21.Доведіть, що геометричне місце середин відрізків з кінцями на двох мимобіжних прямих є площина, паралельна цим прямим (рис. 24).

22. Дано чотири точки А, В, С, D, які не лежать в одній площині. Доведіть, що будь-яка площина, паралельна прямим АВ і СD, перетинає прямі АС, АD, ВD і ВС у вершинах паралелограма (рис. 25).

23. Площини α і β паралельні площини γ. Чи можуть площини α і β перетинатись?

24. Площини α і β перетинаються. Доведіть, що будь-яка площина γ перетинає хоча б одну з площин α і β.

25. Доведіть, що усі прямі, які проходять через дану точку паралельно даній площині, лежать в одній площині.

26. Через дану точку проведіть площину, паралельну кожній з двох прямих, які перетинаються. Чи завжди це можливо?

27. Паралелограми АВСD і АВС₁D₁ лежать у різних площинах. Доведіть, що чотирикутник СDD₁С₁ також паралелограм (рис. 26).

28. Через вершини паралелограма АВСD, що лежить в одній з двох паралельних площин, проведено паралельні прямі, які перетинають іншу площину в точках А₁, В₁, С₁, D₁. Доведіть, що чотирикутник А₁В₁С₁D₁ також паралелограм.

29. Через вершини трикутника АВС, що лежить в одній з двох паралельних площин, проведено паралельні прямі, які перетинають другу площину в точках А₁, В₁, С₁. Доведіть рівність трикутників АВС і А₁В₁С₁.

30. Три прямі, які проходять через одну точку, перетинають дану площину в точках А, В, С, а паралельну їй площину в точках А₁, В₁, С₁. Доведіть подібність трикутників АВС і А₁В₁С₁(рис. 27).

31. Доведіть, що коли чотири прямі, які проходять через точку А, перетинають площину α у вершинах паралелограма, то вони перетинають будь-яку площину, яка паралельна α і не проходить через точку А, теж у вершинах паралелограма (рис. 28).

32. Дано дві паралельні площини. Через точки А и В одній із площин проведені паралельні прямі, що перетинають другу площину в точках А₁, В₁. Чому дорівнює відрізок А₁В₁, якщо АВ = а?

33.Дано дві паралельні площини α₁ і α₂ і точка А, яка не лежить в жодній з цих площин. Через точку А проведено довільну пряму. Нехай Х₁ і X₂ — точки перетину її з площинами α₁ і α₂. Доведіть, що відношення довжин відрізків АХ₁: АХ₂ не залежить від узятої прямої.

34. Дано чотири паралельні прямі. Доведіть, що коли яка-небудь площина перетинає ці прямі у вершинах паралелограма, то будь-яка площина, не паралельна даним прямим, перетинає їх у вершинах деякого паралелограма.

35. Дано паралельну проекцію трикутника. Як побудувати проекції медіан цього трикутника?

D

Мал. 22 Мал. 23 Рис. 24

Мал. 25 Мал. 26 Мал. 27

Мал. 28

ПАРАЛЕЛЬНЕ ПРОЕКТУВАННЯ І ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ.

ЗОБРАЖЕННЯ ПРОСТОРОВИХ ФІГУР НА ПЛОЩИНІ

План

1. Паралельне проектування і його властивості.

2. Зображення просторових фігур на площині.

Для зображення просторових фігур на площині, як правило, користуються паралельним проектуванням. Розглянемо цей спосіб зображення фігури. Беремо довільну пряму h, яка перетинає площину рисунка α, проводимо через довільну точку А фігури пряму, паралельну h. Точка А₁ перетину цієї прямої з площиною рисунка буде зображенням точки А (рис. 29). Побудувавши таким чином зображення кожної точки фігури, дістанемо зображення самої фігури. Такий спосіб зображення просторової фігури на площині відповідає зоровому сприйманню фігури під час розглядання її здалеку.

Наведемо деякі властивості зображення фігури на площині, які випливають з описаної її побудови.

Прямолінійні відрізки фігури зображуються на площині рисунка відрізками (рис. 30).

Справді, усі прямі, що проектують точки відрізка АС, лежать в одній площині, яка перетинає площину рисунка α: по прямій А₁С₁. Довільна точка В відрізка АС зображається точкою В₁ відрізка А₁С₁.

Зауваження. У щойно доведеній властивості й далі передбачається, звичайно, що відрізки, які проектуються, не паралельні напряму проектування.

Мал. 29 Мал. 30

Мал. 31 Мал. 32

Паралельні відрізки фігури зображуються на площині рисунка паралельними відрізками (рис. 31).

Справді, нехай АС і А'С — паралельні відрізки фігури. Прямі А₁С₁ і А₁'З₁' паралельні, тому що їх ми дістали в результаті перетинання паралельних площин з площиною α. Перша з цих площин проходить через прямі АС і АА₁, а друга — через прямі А'С' і А'А'₁.

Відношення відрізків однієї прямої або паралельних прямих зберігається при паралельному проектуванні.

Покажемо, наприклад, що (рис. 32)

АВ : ВС = А₁В₁ : В₁С₁ (*)

Проведемо через точку В пряму А₂С₂, паралельну А₁С₁.Трикутники ВАА₂ і ВСС₂ подібні. З подібності трикутників і рівностей А₁В₁ = А₂В и В₁С₁ = ВС₂ випливає пропорція (*).

Задачі на паралельне проектування:

1. Дано паралельну проекцію трикутника. Що є проекцією середньої лінії трикутника?

2. Чи може при паралельному проектуванні паралелограма вийти трапеція? Відповідь поясніть.

3. Чи може проекція паралелограма при паралельному проектуванні бути квадратом?

4. Доведіть, що паралельна проекція центральносиметричної фігури також є центральносиметричною фігурою.

ПЕРЕПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН

План

1. Перпендикулярність прямих і площин.

2. Ознака перпендикулярності прямої і площини

3. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

4. Перпендикуляр і похила

5. Теорема про три перпендикуляри