1. Перпендикулярність прямих і площин

Як і на площині, дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

Теорема 3.1. Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони також перпендикулярні.

Доведення. Нехай а й b — перпендикулярні прямі, а₁ і b₁ — паралельні їм прямі, які перетинаються. Доведемо, що прямі а₁ і b₁ перпендикулярні.

Якщо прямі а, b, а₁, b₁ лежать в одній площині, то вони мають зазначену в теоремі властивість, яка відома із планіметрії.

Припустимо тепер, що наші прямі не лежать в одній площині. Тоді прямі а і b лежать у деякій площині α, а прямі а₁ і b₁ — у якійсь площині α₁ (мал. 33). По теоремі 2.4 площини α і α₁ паралельні. Нехай С — точка перетину прямих, а і b, а С₁ — точка перетину прямих а₁ і b₁. Проведемо в площині паралельних прямих а і а₁ пряму, паралельну прямій СС₁. Вона перетне прямі а і а₁ у крапках А и А₁. У площині прямих b і b₁ проведемо пряму, паралельну прямій СС₁, і позначимо через В и В₁ точки її перетину з прямими b і b₁.

Чотирикутники САА₁С₁ і СВВ1С1-паралелограми, тому що у них протилежні сторони паралельні. Чотирикутник АВВ₁А₁ — також паралелограм. У нього сторони АА₁, ВВ₁ паралельні, тому що кожна з них паралельна прямій СС₁.

Таким чином, чотирикутник лежить у площині, що проходить через паралельні прямі АА₁ і ВВ₁. А вона перетинає паралельні площини α і α₁ по паралельним прямим АВ і А₁В₁.

Тому що у паралелограма протилежні сторони рівні, то АВ = А₁В₁, АС = А₁С₁, ВС=В₁С₁. За третьою ознакою рівності трикутників трикутники АВС і А₁В₁С₁ рівні. Отже, кут А₁С₁В₁, який дорівнює куту АСВ, прямий, тобто прямі а₁ і b₁ перпендикулярні. Теорема доведена.

Мал. 33

2. Ознака перпендикулярності прямій і площини

Пряма, що перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна будь-який прямій, що лежить у цій площині і проходить через точку перетину (мал. 34).

Теорема 3.2. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, що лежать у площині і перетинаються, то вона перпендикулярна до даної площини.

Доведення. Нехай а — пряма, перпендикулярна прямим b іс у площині α.

Тоді пряма а проходить через точку А перетину прямих b іс(мал. 35). Доведемо, що пряма а перпендикулярна площини α.

Проведемо довільну пряму х через точку А в площини α і покажемо, що вона перпендикулярна прямій а. Проведемо в площині α довільну пряму, яка не проходить через точку А и перетинає прямі b, с і х. Нехай точками перетинання будуть В, С и X.

Відкладемо на прямій а від точки А в різні сторони рівні відрізки: АА₁ і АА₂. Трикутник А₁СА₂ рівнобедрений, оскільки відрізок АС є висотою за умовою теореми і медіаною — по побудові (АА₁ =АА₂). З тієї ж причини трикутник А₁ВА₂ також рівнобедрений. Отже, трикутники А₁ВС і А₂ВС рівні за третьою ознакою рівності трикутників.

З рівності трикутників А₁ВС і А₂ВС випливає рівність кутів А₁ВХ, А₂ВХ і, виходить, рівність трикутників А₁ВХ і А₂ВХ за першою ознакою рівності трикутників. З рівності сторін А₁Х и А₂Х цих трикутників робимо висновок, що трикутник А₁ХА₂ рівнобедрений. Тому його медіана ХА є також висотою. А це значить, що пряма х перпендикулярна до а. За означенням пряма а перпендикулярна площини α. Теорема доведена.

Мал. 34 Мал. 35

Задача. Доведіть, що через дану точку прямої можна провести одну і тільки одну перпендикулярну до неї площину.

Розв’язання. Нехай а — дана пряма і А — точка на ній (мал. 36). Проведемо через неї дві площини, а в них — через точку А прямі b і с, перпендикулярні до прямої а. Площина α, що проходить через ці прямі, перпендикулярна до прямої а по теоремі 3.2.

Доведемо, що ця площина єдина. Припустимо, що крім площини α існує інша площина α', що проходить через точку А и перпендикулярна до прямої а (мал. 37). Нехай В — точка площини α', що не лежить у площині α. Проведемо через точку В і пряму а площину. Вона перетне площини α і α' по різним прямим b і b', що перпендикулярні до прямої а. А це, як ми знаємо, неможливо, оскільки на площині через дану точку прямої проходить тільки єдина перпендикулярна до неї пряма. Отже, площина, що проходить через точку А і перпендикулярна до прямої а, єдина.

Мал. 36 Мал. 37

Задача. Доведіть, що через дану точку площини можна провести одну й тільки одну перпендикулярну до неї пряму.

Розв’язання. Нехай α — дана площина і А — точка на ній (мал. 38). Проведемо в площині α через точку А дві прямі b і с. Проведемо через точку А перпендикулярні до них площини. Вони перетнуться по деякої прямій а, перпендикулярної прямим b і с. Отже, пряма а перпендикулярна площини α.

Доведемо, що ця пряма єдина. Припустимо, що крім прямої а існує інша пряма а', що проходить через точку А і перпендикулярна площини α (мал. 39). Проведемо через прямі а і а' площину. Вона перетне площину α по деякій прямій b, перпендикулярній до прямих а і а'. А це неможливо. Отже, пряма, що проходить через дану точку площини і перпендикулярна до цієї площини, єдина.

Мал. 38 Мал. 39