3. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Теорема 3.3. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої.

Доведення. Нехай а₁, і а₂ — дві паралельні прямі й α - площина, перпендикулярна прямій а₁ (мал. 40). Доведемо, що ця площина перпендикулярна і прямій а₂.

П роведемо через точку А₂ перетину прямій а₂ з площиною α довільну пряму х₂ у площині α. Проведемо в площині α через точку А₁ перетину прямої а₁ з α пряму х₁, паралельну прямій х₂. Оскільки пряма а₁ перпендикулярна до площини α, то прямі а₁ і х₁ перпендикулярні. А за теоремою 3.1 паралельні до них прямі а₂ і х₂ , що перетинаються, також перпендикулярні. Таким чином, пряма а₂ перпендикулярна до будь-якої прямої х₂ у площині α. А це значить, що пряма а₂ перпендикулярна до площини α. Теорема доведена.

Мал. 40

Теорема 3.4. Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, паралельні.

Доведення. Нехай а і b — дві прямі, перпендикулярні до площини α (мал. 41).

Припустимо, що прямі а і b не паралельні. Оберемо на прямій b точку С, що не лежить на площині α.

Проведемо через точку С пряму b', паралельну прямій а. Пряма b' перпендикулярна до площини α (теорема 3.3). Нехай В и В' — точки перетину прямих b і b' з площиною α. Тоді пряма ВВ' перпендикулярна до прямих b і b', що перетинаються. А це неможливо. Ми прийшли до суперечності. Теорема доведена.

Мал. 41

4. Перпендикуляр і похила

Нехай дано площину і точка, яка не лежить на ній.

Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, називається відрізок, що з'єднує дану точку із точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, що лежить у площині, називається основою перпендикуляра. Відстанню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, опущеного із цієї точки на площину.

Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, що з'єднує дану точку із точкою площини і не є перпендикуляром до площини. Кінець відрізка, що лежить у площині, називається основою похилої. Відрізок, що з'єднує основи перпендикуляра і похилої, проведених з однієї й тієї ж точки, називається проекцією похилої.

На малюнку 42 із точки А проведені до площини α перпендикуляр АВ і похила АС. точка В — основа перпендикуляра, точка С — основа похилої, ВС — проекція похилої АС на площину α.

Мал. 42

Відстанню від прямої до паралельної їй площини називається відстань від будь-якої точки цієї прямої до площини.

Відстанню між паралельними площинами називається відстань від будь-якої точки однієї площини до іншої площини.

5. Теорема про три перпендикуляри

Теорема 3.5. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до похилої. І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Доведення. Нехай АВ — перпендикуляр до площини α, АС — похила і с — пряма в площині α, що проходить через основу С похилої (мал. 43). Проведемо пряму СА', паралельну прямій АВ. Вона перпендикулярна до площини α.

Проведемо через прямі АВ і А'С площину β. Пряма с перпендикулярна до прямої СА'. Якщо вона перпендикулярна до прямої СВ, то вона перпендикулярна і до площини β, а отже, і до прямої АС.

Аналогічно, якщо пряма с перпендикулярна до похилої СА, то вона, як перпендикуляр і до прямої СА', перпендикулярна до площини β, а отже, і до проекції похилої ВС. Теорема доведена.

Мал. 43

ПЕРЕПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПЛОЩИН

План:

1. Ознака перпендикулярності площин

2. Відстань між мимобіжними прямими

3. Застосування ортогонального проектування в технічному кресленні