Сложная функция

Пусть функция определена на множестве ,

а функция на множестве ,

причем для каждого соответствующее значение (соответствующее значение лежит во множестве

Тогда говорят, что на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции)

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например: функция является суперпозицией двух функций: , где - промежуточный аргумент сложной функции.

Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов:

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ и их графики

1. Показательная , для ;

2. Степенная ;

3. Логарифмическая

4. Тригонометрические

5. Обратные тригонометрические

Самостоятельно разобрать всю информацию об этих функциях, т.е. вспомнить школьную математику!!! Эти вопросы присутствуют в экзаменационных билетах.

Элементарные функции

Определение: Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции называется элементарной функцией.

Примеры: - элементарные функции.

----- неэлементарные функции.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение: под числовой последовательностью понимается функция , заданная на множестве натуральных чисел.

Коротко последовательность обозначается в виде или

- первый член последовательности

- второй член последовательности

- - ый член последовательности или общий

Способы задания последовательностей:

1. формулой общего члена:

2. перечислением элементов:

3. рекуррентный способ, в котором задается начальный элемент (первый член последовательности) и правило определения - ого члена по - му члену. Например: для арифметической прогрессии: .

Последовательности бывают:

Ограниченными, неограниченными, монотонные (возрастающие, убывающие) и немонотонные.

Определение: Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство

Примеры: - неограниченная; - ограниченная, поскольку все значения последовательности заключены в рамках:

Определение: Последовательность называется возрастающей (неубывающей), если для любого выполняется неравенство . Это буквально означает, что каждый последующий член последовательности больше или равен предыдущему.

_Для убывающей (невозрастающей) последовательности выполняется:

_{т.е. каждый последующий член последовательности меньше, чем предыдущий.}

Все такие последовательности: возрастающие или убывающие называются монотонными.

Монотония для возрастающей последовательности означает однообразие: значения последовательности с ростом аргумента n (n=1; n=2; n=3; …) растут и растут. Для какой то последовательности этот процесс побыстрее, для какой то помедленнее. В случае монотонного убывания: с ростом с аргумента n значения последовательности все меньше, меньше и меньше. Скорость убывания также может быть разной для разных последовательностей. О монотонно убывающей последовательности можно сказать, что она «деградирует».

Примеры: - монотонно убывающая последовательность; - монотонно возрастающая последовательность;

- немонотонная последовательность, эту последовательность «штормит» из стороны в сторону, никакой монотонии не наблюдается.

Определение: Постоянное число A называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа существует номер , что все значения _, у которых , удовлетворяют неравенству

Записывают это следующим образом: