Геометрический смысл понятия предела последовательности
Расположим
члены последовательности
на
числовой прямой. Неравенство
равносильно следующему двойному
неравенству
,
которое говорит о том, что точки
(члены
последовательности
начиная с некоторого номера
,
лежат внутри интервала
,
т.е. попадают в какую угодно малую
- окрестность точки A
(рис.13).
Ясно, что чем меньше
,
тем больше число
,
но в любом случае внутри
-
окрестности точки
находится бесконечное число членов
последовательности, а вне ее может быть
лишь конечное их число.
Понятие предела числовой последовательности хорошо иллюстрируется на следующем примере:
Пример:
Пусть задана последовательность
;
Где
-
показывает и номер члена последовательности
и участвует в построении значения по
правилу
Изобразим члены последовательности точками на числовой оси (рис. 12).
Можно заметить, что члены последовательности
с ростом номера
все
больше
приближаются к 0
справа.
Т. е. величины
становятся
все меньше и меньше. И расстояние между
соседними членами становится также
меньше. Часто говорят, что точка, если
она является пределом для данной
последовательности, то она является
«точкой сгущения». У нас «точка сгущения»
ноль.
Докажем
это, используя определение предела:
рассмотрим модуль разности:
,
где в нашем случае
,
а
;
поэтому запишем:
,
откуда
,
в силу того, что
-
принимает, только целые положительные
значения, модуль можно снять и переписать
неравенство так:
,
откуда получаем, что
.
Таким образом, если мы теперь в качестве
номера
,
который указан в определении предела,
возьмем такой
;
Замечание:
где
-
это функция целая часть
,
которая работает так:
или
;
определяется как наименьшее целое
число, не превосходящее
.
Продолжаем
решение примера: и попробуем по каждому
наперед заданному, сколь угодно малому
,
указать тот номер
,
начиная с которого, все члены
последовательности, будут лежать в
заданной
-
окрестности.
Итак, пусть =1, тогда =1 и, начиная со второго члена последовательности, все остальные будут в окрестности радиуса единица.
Пусть
,
(мы же должны уменьшать окрестность,
делать ее сколь угодно малой), тогда
,
и для всех членов последовательности
с номерами больше чем 10:
,т.е.
начиная с 11 члена последовательности
(
, а именно с этого места:
все
эти члены последовательности будут
находиться в «домике» точки 0 «с названием
окрестность
радиуса
»
;
Пусть
,
тогда
=100,
и начиная со 101 члена последовательности
,
а именно с этого места:
все
члены последовательности будут находится
в другом «домике» той же точки ноль «с
названием
окрестность
радиуса
»;
Очевидно, что этот процесс мы можем продолжать бесконечно и каждому ставить в соответствие, какой то особый номер , начиная с которого начинается попадание в указанную окрестность со все меньшим радиусом. Если это можно сделать, т.е. поймать такую зависимость между и , совершенно точно, что заподозренная нами точка 0, является пределом для данной последовательности.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.
Пример:
Доказать по определению, что
.
На лекции сделаем!