Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение: Числовая последовательность имеет бесконечный предел (или другими словами является бесконечно большой последовательностью), если для любого (сколь угодно большого) существует число такое, что при всех .

Обозначение:

_{Коротко} определение: Последовательность называется бесконечно большой если

Определение: Последовательность называется бесконечно малой если

Свойства бесконечно больших последовательностей

_{Пусть дан}о: - ограниченная последовательность; - последовательность, имеющая конечный предел и произвольные три (т.е. конечное число) бесконечно больших последовательности: , ,

1. Сумма конечного числа бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность, или

2. Произведение конечного числа бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность:

3. Произведение бесконечно большой последовательности на ограниченную последовательность есть последовательность бесконечно большая:

4. Произведение бесконечно большой последовательности на константу есть последовательность бесконечно большая:

5. Сумма (разность) бесконечно большой последовательности и ограниченной есть последовательность бесконечно большая:

6. Частное от деления бесконечно большой последовательность на последовательность, имеющую конечный предел, не равный нулю, есть последовательность бесконечно большая:

Свойства бесконечно малых последовательностей

Пусть дано: - ограниченная последовательность, и произвольные две бесконечно малые последовательности: ,

1. Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей также является бесконечно малой последовательностью:

2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью:

3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

4. Произведение бесконечно малой последовательности на постоянное число является бесконечно малой последовательностью .

Операции над пределами последовательностей

Теорема: Пусть существуют конечные пределы последовательностей и .

1. Если существует порядковый номер , начиная с которого выполняется условие , то .

2. Если , то

3. 

4. , в частности ,

5. , где ,

6. Предел корня k-ой степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности.

Соотношение между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

Теорема 1. Если последовательность является бесконечно большой последовательностью, то последовательность является бесконечно малой.

Теорема 2. Если последовательность - бесконечно малая, то является бесконечно большой последовательностью.

В математическом анализе приняты следующие символические обозначения:

, , , где

Например: или

Конечно, речь идет не о делении на или , а о делении на элементы бесконечно большой или бесконечно малой последовательностей.

Можно использовать следующее соотношения при нахождении пределов:

1. Пусть ; , тогда

2. Пусть ; ( в том числе ); а ; ; тогда . Соответственно, при , (в том числе ), ; , тогда .

ЗАМЕЧАНИЕ: При вычислении некоторых пределов возникает ситуация, которую называют неопределенностью. Например, если и , то попытка произвести непосредственное вычисление предела приводит к неопределенности Аналогичным образом появляются неопределенности следующих типов: . Для того чтобы раскрыть неопределенность, требуется применить тот или иной технический прием, которые подробно будут обсуждаться на семинарах.

Примеры: Найти указанные пределы:

1. ; при нахождении предела рассуждаем так: поскольку , следовательно аргумент является бесконечно большой последовательностью, соответственно также является бесконечно большой последовательностью, т.к. по свойству бесконечно больших: произведение конечного числа бесконечно больших последовательностей есть бесконечно большая последовательность:

_{Обратная величина к бесконечно большой, есть бесконечно малая последовательность, предел которой равен нулю, оформляем результат:}

2. ; почему: рассмотрим выражение, которое стоит под знаком предела: в числителе бесконечно большая последовательность, т.к. с ростом номера , соответствующее значение тоже будет расти и стремится на бесконечность, аналогично рассуждаем в знаменателе: с ростом , тоже будет стремится на бесконечность, следовательно имеем неопределенную ситуацию, которая в народе называется бесконечность на бесконечность. Разрешаем ее с помощью следующего алгоритма:1) выделяем старшую степень в числителе и знаменателе, у нас она вторая, следовательно, делим и числитель и знаменатель на , в результате преобразуем имеющееся выражение к виду: ;

где - бесконечно малые последовательности, предел которых равен нулю.

Этот же предел можно найти, используя следующие рассуждения: последовательности и имеют одинаковую скорость роста на бесконечность, которая определяется (скорость роста) старшей степенью многочлена, в случае, когда скорость одинаковая, как у нас , предел отношения таких двух бесконечно больших, будет равен отношению коэффициентов при старших степенях, у нас .

3. , можем найти этот предел, используя следующие рассуждения: в числителе бесконечно большая последовательность, в знаменателе тоже, но скорость роста на бесконечность у будет медленнее, чем у , т.к. уже указывалось, что она определяется старшей степенью многочлена: против , вторая последовательность очевидно «порезвее», поэтому в случае когда в числителе бесконечно большая с меньшей скоростью роста, чем у бесконечно большой в знаменателе, предел их отношения равен нулю:

4. ; здесь в числителе бесконечно большая последовательность имеет скорость роста больше, чем у последовательности в знаменателе, такой предел отношения равен бесконечности: ;

5. ; в числителе бесконечно большая, имеющая скорость роста меньше, чем в знаменателе, поэтому предел .

6. , в числителе бесконечно большая, имеющая скорость роста больше, чем в знаменателе, поэтому предел .Следует запомнить, что показательная функция имеет одну из самых высоких скоростей роста.

7. , в случае такой неопределенности, нам необходимо провести следующие алгебраические преобразования: умножим и разделим выражение под знаком предела на сопряженное с ним: , т.е. сопряженное, это тоже самое, но со знаком плюс! (сопряженное с выражение ), получаем следующее выражение: , используя формулу: , собираем в числителе: , далее рассуждаем так, используя опять понятие скорости роста функций: в числителе скорость определяется , т.е. первой степенью, в знаменателе так: под корнем стоит многочлен , скорость его роста определяется и при нахождении предела нас интересует только эта составляющая многочлена, т.к. , окончательно получаем:

8. ;

Рассмотрим последовательность , она является ограниченной , т.к. может принимать значения только в пределах от -1 до 1, прибавляя 3 к обоим числам, получаем границы 2 и 4. Последовательность также ограничена ; следовательно, последовательность ограничена и справедливо: .

Последовательность является бесконечно малой последовательностью. Почему?: в числителе скорость роста определяется старшей степенью , которая равна , т.к. имеем , в знаменателе старшая степень 1, т.к. , следовательно, используя выше сформулированное в примерах: в числителе бесконечно большая с меньшей скоростью роста чем в знаменателе, поэтому предел их отношений равен нулю, а арксинус нуля (из курса школы), равен нулю, т.е. , а, следовательно, бесконечно малая последовательность.

Далее используем свойство бесконечно малых последовательностей: произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью: , окончательно делаем заключение, что

13