Задача 65.

Найти точки пересечения прямой m с поверхностью шара и определить её видимость.

Для нахождения точек пересечения прямой m с поверхностью шара используем метод вспомогательных секущих плоскостей.

Введем вспомогательную секущую плоскость , перпендикулярную фронтали такую, чтобы ее фронтальная проекция _П2 совпала с фронтальной проекцией прямой m: _П2  m₂.

Точки пересечения проекции _П2 с фронтальной проекцией сферы обозначим 1₂ и 8₂ (выделено розовым цветом). Плоскость  рассекает сферу по окружности с расположенными на ней точками 1, 2, 3,…8. Проекции этих точек на фронталь (точки 1₂, 2₂3₂, 4₂5₂, 6₂7₂ и 8₂) и порядок их получения показаны на нижеприведенном рисунке.

Из точек 1₂, 2₂, 3₂ и 8₂ опустим перпендикуляры (выделено зеленым цветом) на горизонтальную проекцию сферы. Получим точки 1₁, 2₁, 3₁ и 8₁.

Введем еще две вспомогательные секущие плоскости  и  (выделены розовым цветом), перпендикулярные фронтали такие, чтобы их фронтальные проекции _П2 и _П2 проходили через фронтальные проекции точек 4₂, 5₂, и 6₂ , 7₂ соответственно (см. рисунок). Из точек 4₂, 5₂, 6₂ и 7₂ опустим перпендикуляры на горизонтальную проекцию сферы. Получим точки 4₁, 5₁, 6₁ и 7₁.

Соединим точки 1₁, 2₁, 3₁, 4₁, 5₁, 6₁, 7₁ и 8₁ – получим эллипс, в который проецируется на горизонталь окружность, получаемая в сечении сферы плоскостью .

На эллипсе обозначим точки пересечения эллипса с горизонтальной проекцией прямой m₁ (точки А₁ и В₁).

Из точек А₁ и В₁ поднимем перпендикуляры (выделено зеленым цветом) на фронтальную проекцию m₂ прямой m и обозначим точки пересечения А₂ и В₂.

Отрезок прямой m₂ от точки B₂ вниз влево до синего контура сферы, а также отрезок прямой m₁ от точки B₁ вверх влево до синего контура обозначим пунктиром - они невидимы, и находятся позади проекций сферы. Точка B - точка пересечения прямой m с поверхностью шара. Задача решена.

Литература

1. Гервер В.А., Тенякшев A.M. Начертательная геометрия. Конспект лекций с алгоритмическим представлением материала. - М.: МТУ СИ, 2005.

2. Гервер В.А., Рывлина А.А., Тенякшев А.М. Черчение. Компьютерная графика (Часть 2). Конспект лекций. Изд. 2-ое, доп. – М.: МТУСИ, 2005. – 165 с.

3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии: Учеб. Пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2007.– 272 с.

4. Чекмарев А.А. Инженерная графика. Учебник для немашиностроительных специальностей вузов. – М.: Высшая школа, 2007. – 365 c.

5. Чекмарев А.А. , Осипов В.К. Справочник по машиностроительному черчению. – М.: Высшая школа, 2007. – 493 c.