Вопрос 1. Применимо ли адиабатическое приближение в кристаллах

Варианты ответов: да, нет

Вопрос 2.

Каков вклад электронов в перенос массы

Варианты ответов: пренебрежимо мал; существенен наряду с вкладом ионов

Вопрос 3

В каком виде записывается сила, действующая на атом при его колебании вблизи положения равновесия в гармоническом приближении:

Варианты ответов:

или

Вопросы для контроля:

1. В чем заключается адиабатическое приближение при рассмотрении колебаний системы дискретных частиц.

2. Что с точки зрения квантовой механики означает адиабатическое приближение

3. Какие колебания называются гармоническими

4. Назовите основные положения гармонического приближения колебаний атомов

Лекция 6 фононы - отдельные кванты колебаний атомов кристалла

Любое твердое тело можно представить как систему колеблющихся дискретных частиц, поскольку неподвижность атомов, составляющих твердое тело противоречит основным постулатам квантовой теории. Может показаться, что проще всего кристалл описывать как систему гармонических осцилляторов, например, энергию колебаний атомов произвольного твердого тела можно описать с помощью некоторого числа независимых гармонических осцилляторов. Однако, как мы видели из предыдущих лекций (в частности, лекции 3 Свойства колебаний решетки на примере моноатомного линейного кристалла) такой подход не всегда оптимален и приемлем. Наиболее простой и наглядной моделью тепловых колебаний решетки до сих пор является волновая модель. При этом колебания атомов твердого тела заменяются соответствующим набором бегущих упругих волн, удовлетворяющих периодическим граничным условиям. Такие граничные условия выбираются, чтобы рассматривать распространение упругих волн (которыми заменили колебания атомов решетки) без учета эффектов отражения на границах кристалла. При этом существуют наборы разрешенных значений волновых чисел, т.е. разрешенные и запрещенные области частот и энергий, что было показано на примерах моноатомной и двухатомной одномерных цепочек атомов. Т.е. энергию упругой волны можно рассматривать как квантовую величину. Волновая модель позволяет элементарные тепловые возбуждения в твердом теле рассматривать как квазичастицу, которой приписывается определенная энергия и импульс. Вводится понятие фонона- квазичастицы, представляющей собой квант колебательного движения атомов кристалла и в отношении которой справедливы все концепции корпускулярно-волнового дуализма. В рамках описываемой модели тепловые колебания атомов в твердых телах можно рассматривать как процесс термического возбуждения фононов, а теплопередачу − как процесс распространения фононов. В соответствии с вышесказанным и опираясь на принципы квантовой механики собственные значения энергии фонона, являющиеся решением уравнения Шредингера записываются в виде:

где n − главное квантовое число, которое может принимать целые неотрицательные значения. Как видно из этой формулы, энергия фонона может иметь только дискретные значения и один уровень от другого отстоит на одно и то же значение энергии , т.е. энергетические уровни являются эквидистантными. Кроме этого, из приведенной выше формулы следует, что существует энергии нулевых колебаний   (n=0, представляющая собой минимальное значение энергии, которую может иметь частица) и энергии , характеризующей возбужденное состояние осциллятора. Наличие энергии нулевых колебаний связано с колебательным движением атомов даже при температуре абсолютного нуля, что в свою очередь следует из правила неопределенности Гейзенберга.

Вопросы для контроля:

1. Что позволяет сделать замена колебаний атомов твердого тела совокупностью бегущих волн

2. Что такое фонон

3. Что означает энергия нулевых колебаний

4. С чем связано наличие энергии нулевых колебаний

5. Какими являются энергетические уровни энергии фонона, запишите формулу для разницы энергий между уровнями.

6. Можно ли всю систему колебаний атомов твердого тела описать единым уравнением Шредингера. Обоснуйте ответ.

Тест

Вопрос 1. Применимы ли к фонону принципы корпускулярно-волнового дуализма

Варианты ответов: нет, да, частично

Вопрос 2. Как записывается энергия, характеризующая возбужденное состояние:

Варианты ответов: , ,

Вопрос 3. Является ли энергия фононов непрерывной функцией

Варианты ответов: да, может принимать только дискретные значения

Вопрос 4. Разница между уровнями энергии фононов записывается в виде:

Варианты ответов: , ,

Вопрос 5. Какие фононы возбуждаются при очень низких температурах

Варианты ответов: акустические, оптические

Лекция 7. Теплоемкость твердых тел и её температурный ход. Энергия тепловых колебаний решетки

При поглощении тепловой энергии твердым телом происходит увеличение интенсивности колебания атомов, увеличение вращательной энергии молекул и увеличение энергии движения электронов. Причем основной вклад в теплоемкость дает именно первый из перечисленных эффектов (увеличение интенсивности колебания атомов), два других могут давать ощутимый вклад лишь в очень узких диапазонах температур. Внутренняя энергия твердого тела состоит из энергии, которой обладают твердые тела при абсолютном нуле температуры (энергия нулевых колебаний), и тепловой энергии. Теплоемкость- количество теплоты, которое необходимо подвести к телу, чтобы повысить его температуру на 1К, более точное определение: отношение бесконечно малого количества теплоты, полученное телом при бесконечно малом изменении его состояния, к соответствующему приращению его температуры. Соответственно можно определить теплоемкость тела при постоянном объеме C_V (V = const) или постоянном давлении C_p (p = const) как производную от энергии тела по температуре. Обычно экспериментально измеряют теплоемкость при постоянном давлении C_p , однако более часто используется в теоретическом курсе физики твердого тела теплоемкость при постоянном объеме  C_V , причем их разница определяется выражением:

C_p- C_V=9²BVT

где  – линейный коэффициент теплового расширения; B– модуль объемной упругости (всестороннего сжатия), V-объем, Т – температура. Относительная разность C_p- C_V (по отношению к любой из C_p или C_V ) невелика, и при температурах ниже комнатной данной разностью довольно часто можно пренебречь. В начале прошлого века Дюлонг и Пти экспериментально установили, что для подавляющей массы неорганических твердых тел при комнатных температурах значение теплоемкости C_V 

где S – энтропия кристалла, U внутренная энергия твердого тела, R=8,314 Дж/(мольK) − молярная газовая постоянная, N_A =6,02210²³ 1/моль − число Авогадро. При комнатной температуре С_V25 Дж/(мольK), однако при низких температурах (T  0 K) теплоемкость C_V  приближается к нулю по закону ~T³ для диэлектриков и  ~T для металлов. Причем, если металл способен переходить в сверхпроводящее состояние, то уменьшение теплоемкости C_V оказывается более интенсивным. В твердых магнетиках вклад в теплоемкость, связанный с упорядочением магнитных моментов, довольно велик в той области температур, где такое упорядочение имеет место. Ниже температуры 0,1 К значительный вклад в теплоемкость C_V может вносить упорядочение ядерных моментов. В данной лекции рассматриваются основы квантовой теории теплоемкости для описания поведения теплоемкости в области низких температур. Как и в предыдущих лекциях, колебания атомов в кристалле заменяются совокупностью квазичастиц – фононов, энергия которых подчиняется законам квантовой статистики. Тепловая энергия тела определяется как , где  − среднее значение энергии фонона, - частотный спектр фононов (ф-ция спектральной плотности фононов - задает число волн, или мод, приходящееся на интервал частот от  до +d). При абсолютном нуле температуры в спектре присутствуют только нулевые колебания, при повышении температуры в вначале возбуждаются низкочастотные колебания, по мере повышении температуры возбуждаются колебания с все с более высокими частотами (пока не будут возбуждены колебания с максимально возможной частотой), и одновременно растет число квантов низкочастотных колебаний. Учитывая, что распределение фононов по состояниям при тепловом возбуждении в гармоническом приближении подчиняются статистике Больцмана среднее число фононов, находящихся в рассматриваемом квантовом состоянии определяется

В лекции также показывается, что значение нулевой энергии - минимальное значение энергии, которое согласуется с требованиями соотношения неопределенностей.

Введено понятие характеристической температуры при достижении которой в кристалле возбуждаются колебания со всеми возможными частотами – температуры Дебая.

Выражение для среднего значения тепловой энергии (энергии тепловых колебаний всей решетки) при учете того, что нулевые колебания тепловой энергии не несут записывается в виде:

.

Как легко видеть, для расчета   необходимо знать функцию распределения фононов по частотам  , однако, получить аналитическое выражение для   очень сложно. Поэтому для вычисления энергии колебаний вводятся предположение о виде функции  , основными из которых являются приближения Эйнштейна (1907) и Дебая (1912).

Тест:

Вопрос 1. Какое явление при комнатной температуре вносит основной вклад в теплоемкость:

Варианты ответов: увеличение интенсивности колебания атомов; увеличение вращательной энергии молекул; увеличение энергии движения электронов

Вопрос 2. Несут ли нулевые колебания температуру

Варианты ответов: да, нет

Вопрос 3. В модели, представляющей кристаллическую решетку как совокупность квантовых осцилляторов, разрешены ли переходы минуя уровень

Варианты ответов: да, нет

Вопрос 4. при данной температуре число возбужденных фононов будет максимально у каких колебаний

Варианты ответов: у наиболее низкочастотных колебаний; у наиболее высокочастотных колебаний, равномерно по всем частотам

Вопрос 5

Как ведет себя теплоемкость C_V диэлектриков в области низких температур

Варианты ответов: приближается к нулю по закону ~T³ , приближается к нулю по закону ~T , увеличивается по закону ~T³ , остается постоянной

Вопросы для контроля:

1. Запишите закон Дюлонга и Пти для теплоемкости и объясните его смысл.

2. Запишите выражение для тепловой энергии через функцию спектральной плотности (в общем виде)

3. Сделайте то же самое, но для представления фонона как квантового гармонического осциллятора.

4. Опишите в какой последовательности возбуждаются колебания при увеличении температуры

5. Запишите выражение для неопределенности координаты квантового гармонического осциллятора

6. Запишите выражение для неопределенности импульса квантового гармонического осциллятора

7. Запишите выражение для числа фононов, находящихся в рассматриваемом квантовом состоянии

Лекция 8. Приближение Эйнштейна для вычисления теплоемкости

Эйнштейн сделал несколько предположений:

1. твердое тело представляет собой совокупность гармонических осцилляторов, совершающих колебания с одинаковой частотой в трех взаимно перпендикулярных направлениях;

2. энергия осцилляторов изменяется порциями (квантами) в соответствии с постулатами Планка.

Т.е. в приближении Эйнштейна предполагается, что если в теле N атомов, то каждому атому ставится в соответствие 3 осциллятора, все 3N осцилляторов в системе колеблются с одинаковыми частотами _E и функции распределения фононов по частотам , где _E − так называемая эйнштейновская частота колебаний, а  − дельта-функция Дирака

При этом выражение для тепловой энергии в приближении Эйнштейна

, здесь как и ранее учтено, что нулевые колебания тепловой энергии не несут.

В области высоких температур приближение Эйнштейна сводится к закону Дюлонга и Пти, а в области низких температур стремится к нулю по закону экспоненты. Вводится характеристическая температура Эйнштейна, при которой начинается быстрый спад теплоемкости, температура Эйнштейна _E  связана с зависимостью частоты колебаний от величины сил взаимодействия атомов в веществе (для большинства твердых тел она порядка 10² K).

Вопросы для контроля:

1. Каковы основные предположения модели Эйнштейна

2. Запишите частотный спектр фононов в рассматриваемой модели (функция распределения фононов по частотам- частотный спектр )

3. Запишите выражение для тепловой энергии в приближении Эйнштейна

4. Назовите основное ограничение модели Эйнштейна (предположение о равенстве частот всех упругих волн в твердом теле не соответствует действительности)

5. Назовите одно из достоинств модели (показал, что колебания механических осцилляторов квантуются)

6. Когда модель применима на практике, для описания акустических или оптических фононов (для описания оптических фононов, когда изменение частоты в пределах зоны Бриллюэна невелико, как правило у акустических колебаний решетки разброс частот существенен и модель не применима)

7. Что следует сделать для построения более корректной модели колебаний атомов в кристаллической решетке (ввести закон дисперсии, т.е. учесть, что колебания совершаются с разными частотами)

Лекция 9. Температурный ход теплоемкости в приближении Дебая

Модель Дебая называют континуальной поскольку в приближении Дебая твердое тело рассматривается как изотропный континуум (изотропная непрерывная среда), в котором частота колебаний прямо пропорциональна волновому числу (т.е. зависимость частоты от волнового числа линейна =v₀k, где v₀ − скорость распространения волны) и сохраняется периодичность изменения (k), причем область периодичности определяется границами зоны Бриллюэна. Зона Бриллюэна в модели Дебая имеет сферическую форму, скорости звука считаются не зависящими от направления для всех трех ветвей поляризации: продольной и двух поперечных волн. Плотность фононных состояний (функции распределения фононов по частотам, т.е. число колебаний (фононов), приходящихся на интервал d) дебаевского кристалла (т.е. кристалла в котором выполняются приведенные выше предположения и кроме того представляющего собой куб, содержащий N³ атомов, длина ребра куба L=Na, здесь а − период решетки)

Где V-объем  в  k-пространстве (пространство волновых чисел) , на который приходится одно разрешенное значение k ; v₀ -среднее значение скорости звука , здесь v_II, v_1, v_2− скорости продольной и двух поперечных волн соответственно.

Введено понятие частоты Дебая _D как максимальной циклической частоты колебаний в приближении Дебая

После некоторых математических выкладок в лекции получено выражение для теплоемкости при постоянном объеме в приближении Дебая

.

Переходя в область низких температур получаем зависимость , что согласуется с экспериментом для диэлектриков: теплоемкость C_V пропорциональна T³. Этот закон называют законом T³ Дебая.

Он хорошо выполняется при достаточно низких температурах, когда возбуждены только акустические колебания, т.е. именно те колебания, которые можно рассматривать как колебания упругой среды (континуума). При высоких температурах, когда возбуждены все моды оптического спектра, в приближении Дебая теплоемкость сводится к классическому закону Дюлонга и Пти. Поскольку обычно для твердых тел спектр колебаний атомов состоит из акустических и оптических ветвей, а оптические ветви могут быть охарактеризованы спектром типа эйнштейновского (см. предыдущую лекцию), то при объяснении экспериментальных данных часто используют спектр, состоящий из комбинации дебаевского и эйнштейновского приближений. На практике функции плотности фононных состояний D() определяют из экспериментальных данных, например методом неупругого рассеяния нейтронов или рентгеновских лучей, затем методом компьютерного расчета можно аналитически найти вид D(), тепловую энергию и теплоемкость.

Вопросы для контроля

Вопрос 1

назовите основные приближения модели Дебая

Вопрос 2

основное отличие приближений Эйнштейна и Дебая

Вопрос 3

что такое дебаевская частота, записать формулу

Вопрос 4.

при каких температурах и в каких веществах реализуется закон T³ Дебая

Тест

Вопрос 1 Когда реализуется закон T³ Дебая

Варианты ответов: при возбуждении только акустических колебаний (низкие температуры),

при возбуждении акустических и оптических колебаний, при возбуждении оптических колебаний

Вопрос 2. Когда темплоемкость в модели Дебая сводится к классическому закону Дюлонга и Пти

Варианты ответов: При высоких температурах, когда возбуждены все моды оптического спектра; при низких температурах; при комнатной температуре

Вопрос 3.

Закон T³ Дебая записывается в виде

Лекция 10. Ангармонизм колебаний атомов кристалла и тепловое расширение, среднее отклонение атома от положения равновесия, изменение электрического сопротивления при изменении температуры

В предыдущих лекциях было использовано гармоническое приближение, основной принцип которого – учет не выше второй производной по межатомным расстояниям при разложении потенциальной энергии системы взаимодействующих атомов U(r)  в ряд Тейлора вблизи точки равновесия r=r₀. В гармоническом приближении закон Гука выполняется, а вот тепловое расширение необъяснимо. Кроме того, следствиями гармонического приближения, никогда точно не выполняющимися в твердых телах, являются: 1) равенство между собой адиабатических (постоянный объем) и изотермических (температура постоянна) упругих постоянных и их независимость от давления и температуры; 2) теплоемкость при высоких температурах перестает зависеть от температуры и C_p=C_V; 3) упругие волны в решетке не взаимодействуют друг с другом и со временем не изменяют свою форму. Учет производных третьего и более высокого порядков при разложении потенциальной энергии системы взаимодействующих атомов U(r)  в ряд Тейлора вблизи точки равновесия соответствует ангармоническому приближению. Ангармонизм колебаний атомов приводит к зависимости частоты колебаний от амплитуды смещений, к описанию теплового расширения и взаимодействию фононов. В области низких температур, степень ангармонизма в решетке мала, фононная модель применима. Коэффициент фонон-фононного рассеяния _ф-ф для модели взаимодействующих фононов, выражается соотношением

где   − средняя плотность фононов, – коэффициент ангармонизма. При учете ангармонизма при некоторой температуре отклонения атома от положения равновесия r₀ влево и вправо не равны и средние значения координат отличаются от равновесного r₀. Потенциальная энергия при увеличении r меняется медленнее, чем по гармоническому закону. Для описания теплового расширения твердого тела воспользуемся приближенной моделью, в которой решетка заменена на совокупность ангармонических осцилляторов, при этом в рассмотрении учитываем только первые три производные при разложении U(r)  в ряд Тейлора вблизи точки равновесия r=r₀. В таком приближении среднее смещение атомов от положения равновесия при нагревании пропорционально температуре и коэффициенту ангармонизма  и обратно пропорционально квадрату коэффициента квазиупругой силы , и выражается соотношением  . А относительное удлинение тела при нагревании равно , где коэффициент теплового расширения . Знак  определяется характером асимметрии потенциальной энергии U(r) вблизи положения равновесия. Если ветвь при r<r₀ меняется круче, чем при r>r₀, то при нагревании тело расширяется, если наоборот, то сжимается, если ветви симметричны, размеры тела не изменяются. Такой вид коэффициента теплового расширения справедлив для поликристаллических тел, для которых   - средний коэффициент линейного теплового расширения. Монокристаллы обладают анизотропией свойств, поэтому коэффициенты линейного расширения для различных направлений внутри монокристалла имеют как правило различные значения. У некоторых кристаллов при определенной температуре наблюдается отрицательное значение  по одной или двум из трех кристаллографических осей (т.е. всего выделяют 3 главных коэффициента теплового расширения монокристалла по 3-м кристаллографическим осям монокристалла). Отрицательное значение коэффициента линейного расширения означает, что такой кристалл при нагревании сжимается по этой оси.

Рассмотрим вклад электронов в теплоемкость. Согласно квантовой теории теплоемкость электронного газа: , при этом   410^-4 Дж/(мольК²). Таким образом, при комнатной температуре вклад электронов в полную теплоемкость мал по сравнению со значением решеточной теплоемкости, даваемым законом Дюлонга и Пти. При температурах ниже 4 К доля теплоемкости электронного газа в металлах превышает долю решеточной теплоемкости , т.к. электронная теплоемкость уменьшается с температурой линейно, а решеточная − по закону T³. Однако при достаточно высоких температурах электронная теплоемкость ответственна за медленное линейное возрастание полной теплоемкости при высоких температурах, в то время как решеточная теплоемкость в этой области температур (выше температуры Дебая) уже практически не меняется. Большинство металлов плавится до того, как электронная теплоемкость достигнет заметной величины.

При увеличении температуры атомы металла увеличивают амплитуду колебаний около узлов решетки, увеличивается количество фононов, что вызывает увеличение рассеяния электронов на фононах и приводит к увеличению электрического сопротивления. При T 0 электропроводность металлов стремиться к некоторому конечному значению, у ряда металлов возникает сверхпроводящее состояние, у диэлектриков и полупроводников электропроводность при T 0 тоже стремиться к 0. Для диэлектриков и полупроводников (без примесей) с увеличением температуры все большее количество электронов может перейти из валентной зоны в зону проводимости, соответственно увеличивается и концентрация дырок, т.е. происходит рост числа носителей заряда, следовательно электрическое сопротивление падает.

Наличие инородных атомов (примесей или легирующих добавок) вызывает нарушение кристаллической решетки металла, что увеличивает электрическое сопротивление.

Зависимость электрического сопротивления от деформации можно выразить следующим образом: производная от сопротивления по температуре не зависит от деформации.

Тест

Вопрос 1 Учет производных какого порядка при разложении потенциальной энергии системы взаимодействующих атомов U(r)  в ряд Тейлора вблизи точки равновесия соответствует гармоническому приближению.

Варианты ответов: до 1-ого; до 2-ого; до 3-его

Вопрос 2. Соответствует ангармоническому приближению

Варианты ответов: до 1-ого; до 2-ого; 3-его и выше

Вопрос 3. Возможно ли описание теплового расширения в гармоническом приближении

Варианты ответов: да, нет, частично

Вопрос 4. Как в ангармоническом приближении зависит относительное удлинение тела при нагревании от температуры

Варианты ответов: линейно, квадратично, по закону Т³, обратно пропорционально

Вопрос 5 Как ведет себя электрическое сопротивление металлов при увеличении температуры:

Варианты ответов: увеличивается, уменьшается, остается постоянным

Вопрос 6 Как ведет себя электрическое сопротивление полупроводников без примесей при увеличении температуры

Варианты ответов: увеличивается, уменьшается, остается постоянным

Вопросы для контроля:

1. Что нового по сравнению с гармоническим позволяет сделать ангармоническое приближение? (описать тепловое расширение, ввести зависимость частоты колебаний от амплитуды смещений, учесть взаимодействие фононов.)

2. Что означает эффект вымораживания фононов и к чему он приводит? (При понижении температуры происходит уменьшение плотности фононов- это явление называется эффектом вымораживания фононов, и оно приводит к уменьшению теплоемкости.)

3. Запишите выражение для среднего отклонения атома от положения равновесия в ангармоническом приближении.

4. Чему равен коэффициент теплового расширения?

5. Запишите выражение для коэффициента ангармонизма

6. Запишите выражение для теплоемкости электронного газа, как она соотносится с решеточной теплоемкостью, описать для низких, комнатных и высоких температур

7. Схематично изобразите зависимость потенциальной энергии взаимодействия между двумя атомами с учетом ангармонизма колебаний

8. Что означает отрицательный коэффициент теплового расширения по одной из трех кристаллографических осей монокристалла?

Лекция 11. Теплопроводность твердых тел. Закон Грюнайзена

Теплопроводность- процесс переноса тепла от более нагретых частей тела к менее нагретым, приводящий к выравниванию температуры тела. В жидкостях и газах возможна конвекция - передача тепла потоками нагретого вещества, в твердых телах такой механизм не возможет и перенос тепла осуществляется за счет колебаний кристаллической решетки. Таким образом, исходя из квантово-механических представлений теплопроводность в твердых телах осуществляется за счет движения фононов. Закон теплопроводности Фурье можно записать в следующем виде:

где dQ - тепловой поток через поперечное сечение стержня dS за время dt в зависимости от градиента температуры  , считается, что площадка dS перпендикулярна оси x,   коэффициент теплопроводности (количество тепла, прошедшее через единицу площади за единицу времени при градиенте температуры, равном единице, единица измерения в СИ Вт/(мК)). Знак минус в законе теплопроводности Фурье показывает, что распространение тепла идет от более нагретой части тела к более холодной, т.е. в сторону, противоположную градиенту температуры и способствует выравниванию градиента температуры.

При высоких температурах квантовый характер теплообмена не заметен, т.к. возбуждены практически все колебания в кристалле, энергии хватает для любых квантовых переходов. При низких температурах в кристалле возбуждены лишь колебания с малыми частотами, и за счет температуры не могут быть преодолены все квантовые переходы, поэтому при низких температурах квантовый характер теплообмена особенно заметен. Поэтому для диэлектриков (существенно, что фононы – превалирующие переносчики тепла) при низких температурах, используя из теории Дебая представления об идеальном газе фононов, можно получить, что коэффициент теплопроводности пропорционален теплоемкости единицы объема фононного газа, которая при приближении к 0 температур ведет себя по закону T³. Используя представления физической кинетики показано, что коэффициент теплопроводности диэлектриков обратно пропорционален температуре при температурах выше температуры Дебая.

Для качественного вывода закона Грюнайзена, который устанавливает одинаковую температурную зависимость удельной теплоёмкости C_V и коэффициента теплового расширения _T твёрдых диэлектриков, введено понятие свободной энергии квазичастицы, для которой получено выражение

.

Общепринятая запись закона Грюнайзена

где К - модуль всестороннего сжатия,  - параметр Грюнайзена. Закон Грюнайзена соблюдается только в предположении одинаковой зависимости частот всех нормальных колебаний кристаллической решетки (фононных мод) от объёма V, т.е. (_D- частота Дебая) и отсутствии температурной зависимости модуля всестороннего сжатия. В более широком смысле закон Грюнайзера является точным и формулируется как одинаковая температурная зависимость удельной теплоёмкости C_V и коэффициента теплового расширения _T твёрдых тел в области достаточно низких температур, когда теплоёмкость твёрдого тела определяется всего одним типом длинноволновых возбуждений (квазичастиц).

В металлах в переносе тепла, кроме колебаний атомов кристаллической решетки, участвуют свободные электроны, вклад которых становится особенно заметен при повышении температуры.

Тест