Вопрос 1. Какой основной недостаток модели свободных электронов

Варианты ответов:

невозможность описать тепловое расширение

невозможность объяснить различия между диэлектриками, полупроводниками и проводниками

невозможность точно описать взаимодействия всех частиц, составляющих твердое тело

Вопрос 2. Используется ли в одноэлектронном приближении аддиабатическое приближение

Варианты ответов: да, нет

Вопрос 3. Блоховская волновая функция имеет вид

Варианты ответов:

Вопросы для контроля

1. Опишите модель свободных электронов

2. Приведите основные предположение одноэлектронного приближения

3. Напишите волновую функцию Блоха

4. Что гласит теорема Блоха в трехмерном случае

5. Какое дополнительное условие накладывается на амплитуду волновой функции электрона в периодическом поле кристалла

Лекция 13. Изменение состояния электронов при сближении атомов. Приближение почти свободных электронов. Модель Кронига–Пенни.

Изолированный атом можно рассматривать как потенциальную яму, в которой электрон может занимать одно из нескольких дискретных энергетических состояний. Если атомы находятся на расстоянии много больше периода кристаллической решетки, то взаимодействием между ними можно пренебречь, а потенциальный барьер препятствует свободному переходу электронов от одного атома к другому. Если атомы находятся на расстоянии порядка параметра решетки (несколько ангстрем a 10^-10 м), то взаимодействие между ними уже не пренебрежимо мало и за счет него уменьшается высота потенциального барьера. Уменьшение высоты потенциальных барьеров при сближении атомов приводит к тому, что валентные электроны в металлах переходят между атомами. Таким образом, в кристаллах происходит не только уменьшение высоты потенциальных барьеров, но и качественное изменение энергетических уровней электронов в атомах. Исходя из соотношения неопределенности энергии-времени и принимая во внимание, что скорость движения электронов в металлах ~ 10⁵ м/с, а около конкретного узла решетки он находится в течение приблизительно 10^-15 с, то можно получить, что ширина энергетического уровня E ~ 1 эВ. Это означает, что в кристаллах энергетический уровень электрона расщепляется в энергетическую зону  и возникает система энергетических зон, которые представляют собой не непрерывный ряд значений энергии электронов, а система близких друг к другу дискретных уровней энергии. Расстояния между этими подуровнями чрезвычайно малы, так что такую область можно рассматривать как энергетическую зону с квазинепрерывным спектром энергетических состояний. Отсюда следует что, моноэнергетический уровень превращается в энергетическую зону - зону разрешенных энергий. Зоны разрешенных энергий чередуются с  зонами запрещенных энергий. В качестве первого приближения для описания поведения электронов в кристалле полем ионных остовов пренебрегают и используют модель электронного Ферми-газа, называемую также приближением свободных электронов. Согласно теории Ферми-газа, функция плотности состояний для электронов Ферми-газа имеет вид:

. Энергия Ферми (наивысший энергетический уровень, занятый электронами при нуле температур; при T=0 эквивалентен химическому потенциалу системы в ее основном состоянии, т.е при Т=0) при температуре абсолютного нуля вычисляется по формуле: , где n- концентрации свободных электронов. Энергия Ферми при температуре Т вычисляется согласно . Поскольку модель свободных электронов всё же не может полностью описать поведение электрона в кристалле, то рассматривается модель почти свободных электронов, предложенная Крониг и Пенни: движение электрона в линейной цепочке прямоугольных потенциальных ям. В рамках модели Крониг и Пенни объяснено возникновение запрещенных зон с энергетической точки зрения и намечена зависимость энергии электрона от волнового числа k для барьеров различной прозрачности P. Конкретный вид зависимости энергии электрона от его волнового вектора определяется несколькими факторами: симметрией кристалла, типом атомов, его образующих. Анизотропия кристалла обуславливает зависимость от кристаллографического направления. На основе зонной теории вещества классифицированы на металлы, полупроводники и диэлектрики:

1. у металлов над целиком заполненными зонами располагается зона лишь частично заполненная.

2. диэлектрики - тела, у которых над целиком заполненными зонами располагаются полностью пустые, отделенные широким запрещенным интервалом.

3. полупроводники - вещества, имеющие сравнительно узкую запрещенную зону.

Тест:

Вопрос 1. Что происходит с потенциальными барьерами при сближении атомов

Варианты ответов: уменьшение высоты, увеличение высоты, высоты барьеров остаются на прежнем уровне

Вопрос 2. Какое качественное изменение энергетического уровня электрона происходит при сближении атомов на расстояние параметра решетки в металлах

Варианты ответов: ничего не происходит; расщепляется в энергетическую зону

Вопрос 3 Строение энергетической зоны

Варианты ответов: непрерывный ряд значений энергии электронов; система близких друг к другу дискретных уровней энергии; система далеко отстоящих друг от друга уровней энергии.

Вопрос 4. Энергия Ферми при температуре абсолютного нуля в зависимости от n- концентрации свободных электронов в модели электронного Ферми-газа вычисляется по формуле:

Варианты ответов:

; ;

Вопросы для контроля:

1. Качественно опишите как происходит расщепление энергетического уровня электрона расщепляется в энергетическую зону, что это означает.

2. Дайте основные характеристики модели электронного Ферми-газа (модели свободных электронов)

3. Нарисуйте качественный вид функция заполнения состояний электронами Ферми-газа при температурах Т₁=0 <Т₂< Т₃

4. Назовите основные положения модели почти свободных электронов (модели Кронига–Пенни)

Лекция 14. Движение электрона в периодическом поле кристалла под действием однородного внешнего электрического поля. Эффективная масса электрона

Рассматривается движение электрона в периодическом поле кристалла под действием однородного внешнего электрического поля, в результате воздействия которого он приобретает свойства, в корне отличающие его от классической частицы. Однако, движение отдельного электрона в кристаллической решетке можно описывать в виде второго закона Ньютона, в котором учитываются только внешние по отношению к кристаллу силы (т.е. с помощью того же уравнения, что и для движения свободной частицы). Учитываем, что в кристалле электрону необходимо сопоставить группу волн де Бройля с различными значениями частот  и волновых векторов k (в то время как свободный электрон описывается монохроматической волной де Бройля и нигде не локализован.) Центр такой группы волн перемещается в пространстве с групповой скоростью . Задача о движении электрона в кристалле под действием внешнего однородного электрического поля решается в одномерном случае и выводится соотношение для эффективной массой электрона в кристалле . Здесь постоянная Дирака или приведенная постоянная Планка, h –постоянная Планка, E-энергия электрона, k –волновое число. Эффективная масса электрона не имеет никакого отношения к массе свободного электрона, это характеристика системы электронов в кристалле в целом, связанная с видом дисперсионного соотношения электрона в кристалле. Она не определяет ни гравитационных, ни инерционных свойств электрона, может быть как больше, так и меньше массы свободного электрона, как положительной, так и отрицательной. По сути электрону в кристалле, связанному взаимодействиями с кристаллической решеткой и другими электронами, сопоставили некую новую свободную “микрочастицу”, обладающую лишь двумя физическими параметрами реального электрона - его зарядом и спином. Такую частицу часто называют квазиэлектроном или носителем отрицательного заряда, все её параметры квазиимпульс, эффективная масса, кинетическая энергия и т.д., кроме заряда и спина, определяются свойствами кристаллической решетки. На одномерном примере рассмотрены зависимости от волнового числа: энергии, скорости и эффективной массы электрона.

Тест

Вопрос 1. Определяет ли эффективная масса электрона его гравитационные свойства

Варианты ответов: да, нет, частично

Вопрос 2 Определяет ли эффективная масса электрона его инерционные свойства

Варианты ответов: да, нет, частично

Вопрос 3. Может ли эффективная масса быть отрицательной

Варианты ответов: да, нет

Вопрос 4. Какими свойствами реального электрона обладает квазиэлектрон (новая введенная квазичастица с эффективной массой)

Варианты ответов: массой, энергией, импульсом, спином, зарядом

Вопросы для контроля

1. Чем определяются квазиимпульс, эффективная масса, кинетическая энергия квазиэлектрона? (свойствами кристаллической решетки)

2. Схематично изобразите поведение энергии и эффективной массы в первой зоне Бриллюэна

3. Выпишите выражение для эффективной массой электрона в кристалле

Лекция 15 Движение электрона в металле в стационарном внешнем магнитном поле

Рассмотрено движение электрона в металле при воздействии постоянного внешнего магнитного поля. Учет внешнего магнитного поля в гамильтониане свободной частицы в импульсном представлении осуществляется следующим образом:

U(r) периодическом поле, оператор импульса, A(r) — векторный потенциал поля. Задача как мы видим, весьма непроста, однако, она заметно упрощается в случае достаточно слабого поля. При достаточно слабом внешнем магнитном поле применяется переход к квазиимпульсному представлению. Условие малости внешнего поля может быть сформулировано в общем виде как , где ларморова частота (ларморова частота – это угловая частота прецессии магнитного момента, помещенного в магнитное поле), ₀ наименьшая из энергетических величин, характеризующих s-ую зонув которой находится электрон, — ее характерную ширину или расстояние до соседних зон (т. е. разностей ) при заданных k, k –волновое число). Поэтому движение электрона в решетке в слабом магнитном поле описывается гамильтонианом (в К-представлении, где обобщенный импульс)

и имеется полная аналогия со способом введения магнитного поля в гамильтониан свободной частицы в импульсном представлении. Причем при медленно меняющемся в пространстве потенциале A(r) волновые функции «нулевого» (по напряженности поля Н) приближения будут

(причем функции и, благодаря переменности А, уже не являются строго периодическими, аналог – блоховские функции, но там u строго периодичны). Энергии же надо рассматривать теперь как операторы, образующие гамильтониан в K-представлении.

В квазиклассическом случае (условие малости изменения дебройлевской длины волны частицы на расстояниях порядка ее самой или в рассматриваемом случае : радиус кривизны орбиты велик по сравнению с дебройлеровской длиной волны) имеет смысл понятие траектории частицы

(индекс s для краткости опускаем).

Проведя некоторые математические преобразования получим уравнение движения, по виду напоминающее классическое уравнение Лоренца

(1)

Но отличающееся от него другой зависимостью (k): вместо простой квадратичной функции здесь стоит сложная периодическая функция. Отсюда следует, что и v(k) сложная периодическая функция. В уравнении (1) Н – напряженность внешнего магнитного поля.

Рассмотрено движение электрона в металле в однородном магнитном поле, при котором =const, k_z=const (ось z - в направлении поля Н). Геометрически траектория движения электрона в k-пространстве траектория представляет собой контур сечения изоэнергетической поверхности (k) плоскостью, перпендикулярной магнитному полю. Изоэнергетические поверхности могут иметь самую разнообразную форму. Если движение происходит по замкнутым траекториям в квазиимпульсном пространстве, то оно периодично во времени с периодом движения

Где S(,k_z) площадь сечения изоэнергетической поверхности =const плоскостью k_z=const., при этом направление k_z совпадает с направлением внешнего магнитного поля H.

Вводится понятие циклотронной массы электрона в решетке

через которую выражается частота обращения электрона по орбите

Это выражение отличается от известной формулы для ларморовой частоты свободных электронов заменой их массы на . В случае электронов в решетке циклотронная масса не постоянная величина, а функция  и k_z так что она различна для разных электронов. Циклотронная масса может быть как положительной, так и отрицательной; в первом случае электрон движется по орбите как отрицательно заряженная частица, а во втором — как положительно заряженная частица — дырка. Поэтому говорят об электронных и дырочных траекториях.

Существует связь между траекториями в квазиимпульсном и обычном пространствах: напомним, как и ранее направление оси z совпадает с направлением внешнего магнитного поля, тогда xy-проекция орбиты в обычном пространстве повторяет k-траекторию, отличаясь от нее лишь ориентацией и масштабом. Траектория в обычном пространстве получается из траектории в k-пространстве заменой

В обычном пространстве также имеется движение вдоль оси z со скоростью . Заметим, что если траектория в k-пространстве замкнута, то в обычном пространстве она представляет собой спираль с осью вдоль направления поля. Если траектория k-пространстве открытая, то открыта также и проекция траектории на плоскости xy в обычном пространстве.

В лекции также рассмотрена вероятность пренебрегать явлением магнитного пробоя, т.е. перехода с одной траектории в k-пространстве на другую под действием внешнего магнитного поля. Вероятность перехода с одной траектории в k-пространстве на другую, не мала, если эти траектории где-либо подходят аномально близко друг к другу: траектория близка к траектории с самопересечением, либо если траектория проходит вблизи пересечения двух листов изоэнергетической поверхности (т. е. вблизи точки вырождения). В этом случае разрыв k между траекториями мал по сравнению с характерными размерами орбит в целом, а радиус кривизны R_k траекторий вблизи точек их максимального сближения по порядку величины совпадает с k. Вероятность магнитного пробоя экспоненциально мала, если k велико по сравнению с расстоянием k_x на котором затухает волновая функция в классически недоступной области между траекториями . Это условие реализуется при , т.е. при выполнении этого условия явлением магнитного пробоя можно пренебречь.

Тест

Вопрос 1. Имеется ли аналогия между записью гамильтониана электрона в металле во внешнем слабом магнитном поле и способом введения магнитного поля в гамильтониан свободной частицы в импульсном представлении

Варианты ответов: да, нет.

Вопрос 2. Обобщенный импульс (квазиимпульс) записывается как

Варианты ответов:

Вопрос 3 При медленно меняющемся в пространстве потенциале A(r) волновые функции «нулевого» (по напряженности поля Н) приближения

строго периодичные функции u или нет

Варианты ответов: строго периодичные, не являются строго периодическими

Вопрос 4. Основное отличие уравнения движения электрона в решетке во внешнем магнитном поле отличается от классического уравнения Лоренца

Варианты ответов: ничем не отличается, отличается видом функции (k)

Вопрос 5 . Как записывается периодом движения, если движение происходит по замкнутым траекториям в квазиимпульсном пространстве (учитывая, что S(,k_z) площадь сечения изоэнергетической поверхности =const плоскостью k_z=const., при этом направление k_z совпадает с направлением внешнего магнитного поля H)

Варианты ответов: