Операции над матрицами

Суммой двух матриц одинакового размера А + В, где А = , В = есть матрица С = того же размера с элементами с_ij = a_ij + b_ij при всех i и j. Т.е. сложение матриц одинакового размера производится поэлементно.

Например,

Найти сумму матриц А + В, если

A = , B = .

С = = .

Произведением матрицы на действительное число называется матрица, элементы которой получены умножением на это число всех элементов данной матрицы: λА = λ , где λ – число.

Например,

2 = .

Свойства операций сложения и умножение на число

1. коммутативность: А + В = В + А;

2. ассоциативность: (А + В) + С = А + (В + С);

3. дистрибутивность относительно сложения матриц:

(А + В) = λ∙А + λ∙В;

4. дистрибутивность относительно сложения чисел:

(α + β) ∙ А = α А + β ∙ А;

5. операция сложения матриц имеет обратную операцию – вычитание. Разностью матриц А и В называется матрица С, составленная из разностей соответственных элементов заданных матриц А и В. (С = А – В).

6. существует такая матрица О, что А + О = А, λ ∙ О = О, О – А = – А .

Произведением матриц А и В, (причем число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы), называется матрица С, элементы которой равны сумме произведений элементов каждой строки матрицы А на каждый элемент столбца матрицы В.

Т. е. с_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j +…+ a_1nb_nj , i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, k.

Например,

С = А ∙ В = = , где

с₁₁ = 1∙1 + (-2) ∙ (-6) + 2 ∙ (-3) = 7 с₂₁ = 3 ∙1 + 1 ∙ (-6) + (-2) ∙ (-3) = 3

с₁₂ = 1∙ 4 + (-2) ∙ 5 + 2 ∙6 = 6 с₂₂ = 3 ∙ 4 + 1 ∙ 5 + (-2) ∙ 6 = 5

с₁₃ = 1∙ 2 + (-2) ∙ (-9) + 2 ∙ (-5) = 10 с₂₃ = 3 ∙ 2 + 1 ∙ (-9) + (-2) ∙ (-5) = 7.

Свойства умножения матриц

1. Операция умножения матриц , вообще говоря, некоммутативна, т.е.

условие А ∙ В = В ∙ А – выполняется не всегда;

2. Ассоциативна, т.е.

(А ∙ В) ∙ С = А ∙ ( В ∙ С); (λ ∙ А) ∙ В = А ∙ (λ ∙ В), где λ – число;

3. Дистрибутивна, т.е.

(А + В) ∙ С = А ∙ С + В ∙ С;

4. Существуют делители нуля, т.е. А ≠ 0, В ≠ 0, но А ∙ В = 0 – нулевая матрица.

Например,

= ;

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, если – равен нулю.

Определение. Для каждой невырожденной матрицы А существует матрица А^-1, называемая обратной, для которой справедливо равенство

А ∙А^-1 = Е (сравни: 2 ∙ 2^-1 = 1).

Нахождение обратной матрицы

Найти матрицу А^-1 для данной матрицы А =

1 способ.

Т.к. А ∙ А^-1 = Е и А^-1 неизвестна, то обозначим ее элементы х_i, y_i, z_i , т.е.

∙ = .

Тогда по правилу умножения матриц имеем три системы уравнений с неизвестными х_i, y_i, z_i.

; ; .

Решив эти системы, найдем х₁, у₁, z₁, x₂, y₂, z₂, x₃, y₃, z₃.

Покажем решение первой системы относительно х₁, у₁, z₁.

Выразим в первом уравнении х₁ и подставим его значения в остальные уравнения:

.

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим: .

Умножим второе уравнение на 12, а третье на 3.

.

Выразим во втором уравнении у₁ и подставим в третье: .

Решим третье уравнение относительно z₁. z₁ .

Отсюда из второго уравнения найдем у_1. .

Затем из первого уравнения получим х₁: .

Таким образом первая строка матрицы А^-1 равна ( 9 -36 30 ).

Аналогично решая остальные две системы, получим матрицу

.

2 способ.

Доказано, что А^-1 = ,

где А_ij – миноры элементов а_ij матрицы А, взятые со знаком: ( - 1)^{i + j}, ∆_А – определитель матрицы А.

(Обратить внимание на то, что индексы матрицы, состоящей из миноров, соответствуют транспонированной матрице).

Например, найдем матрицу обратную матрице А = вторым способом. Найдем определитель матрицы А:

∆_А =

найдем миноры элементов матрицы А.

А₁₁ = (-1)¹⁺¹ , А₂₁ = (-1)²⁺¹ ,

А₃₁ = (-1)³⁺¹ ; А₁₂ =(-1)¹⁺² ,

А₂₂ =(-1)²⁺² , А₃₂ = (-1)³⁺² ;

А₁₃ = (-1)¹⁺³ , А₂₃ =(-1)²⁺³ ,

А₃₃ = (-1)³⁺³ .

Таким образом, матрица А^-1 = .