2. Спектры непрерывных сигналов.Спектры периодических сигналов

Спектр сигнала является его важнейшей характеристикой. Спектры периодических сигналов определяют с помощью ряда Фурье. В качестве ортогонального базиса при преобразованиях Фурье используют тригонометрические функции: синусоидальные и косинусоидальные. Колебания, описываемые функциями синуса и косинуса, называют также гармоническими, а сами функции синуса и косинуса – гармониками.

Периодический сигнал ограниченной мощности (рис.1) можно представить рядом Фурье , (1)

где - коэффициенты Фурье, они же амплитуды гармонических колебаний,

- номер гармоники, представляющей синусоидальное и (или) косинусоидальное колебание,

- период сигнала, т.е., интервал повторения сигнала; он же период первой (основной) гармоники,

- круговая частота сигнала и его первой гармоники.

Рис.1. Периодический сигнал

Коэффициенты Фурье определяются по следующим формулам

, (2) .

Здесь - постоянная составляющая спектра; она определяется как среднее значение сигнала за период.

Пределы интегрирования могут задаваться произвольно, при этом разница между верхним и нижним пределом должна равняться одному периоду . В общем виде пределы могут задаваться так: . Во многих случаях для сигналов в виде четных функций пределы интегрирования задают от до .

Размерность амплитуд колебаний такая же, как у сигнала. Она определяется природой сигнала. Сигналы, обрабатываемые устройствами вычислительной техники, обычно имеют размерность электрического напряжения (вольты) или силы тока (амперы). Размерность переменной и периода – секунды; размерность круговой частоты – радианы в секунду.

Круговая частота определяется периодом колебаний. Она равна .

Для периодического сигнала и период, и круговая частота – величины постоянные, т.е., .

На практике часто применяют циклическую частоту, которая связана с периодом и круговой частотой следующими формулами .

Следует иметь в виду, что спектры сигналов изображаются в системе координат, по оси абсцисс которых откладывают непрерывную частоту, обозначаемую строчными (круговая) или (циклическая); они связаны соотношениями: . Циклическая частота измеряется в Герцах.

Ряд Фурье (1) представляет собой сумму бесконечно большого числа гармоник: косинусоид и синусоид, длящихся бесконечно долго. Каждая гармоника имеет свою амплитуду и свою частоту. Частоты гармоник дискретно возрастают с ростом их номеров . Амплитуды гармоник в общем знакопеременны и убывают по абсолютной величине с ростом частоты до бесконечно малых величин. Гармоники в совокупности и образуют спектр сигнала.

Обычно же спектром сигнала называют графическую зависимость амплитуд гармонических колебаний от частоты. Общий вид спектра периодического сигнала показан на рис.2. Он состоит фактически из двух спектров: один содержит только косинусоиды с амплитудами , второй – синусоиды с амплитудами .

Рис. 2. Графическое представление спектра периодического сигнала

Кривая, проходящая через точки, равные значениям амплитуд гармоник, обозначенная на графике пунктиром, называется огибающей спектра. С ростом частоты размах огибающей относительно оси частот уменьшается, уменьшаются, следовательно, и амплитуды. При бесконечно больших частотах амплитуды становятся бесконечно малыми величинами. Спектр периодического сигнала дискретный, так как принимает вполне определенные значения только в отдельных (дискретных) точках, кратных постоянной частоте . Такой спектр называют также линейчатым.

Спектр можно описать также таким уравнением ,

где - гармоника, состоящая из синусоиды и косинусоиды.

Можно получить спектр периодического сигнала, состоящего из двух спектров: первый содержит наборы только синусоид или только косинусоид, второй – начальные фазы этих синусоид или косинусоид. Первый называется амплитудным спектром, второй – фазовым спектром.

Ряд Фурье, описывающий такой спектр, представленный синусоидами с начальными фазами, имеет следующий вид:

.(3) Здесь ; (4)

где - амплитуда синусоидального колебания, - начальная фаза синусоиды.

Амплитудный и фазовый спектры при разложении периодического сигнала на синусоиды с начальными фазами показаны на рис. 4.

Рис. 4. Амплитудный и фазовый спектры

Аналогично можно построить спектр, содержащий только косинусоидальные составляющие. Спектры, представленные в виде (1) и (3), равнозначны в энергетическом отношении, хотя и имеют различные формы.

Амплитудный и фазовый спектры в общем виде имеют формы, как показано на рис.4, только продолженные еще и в отрицательную область частот.

Сигналы, как физические процессы обладают энергией. Энергия периодического сигнала имеет бесконечно большое значение, поэтому для анализа энергетического состояния сигнала пользуются его мощностью или средней энергией за один период. Имеет место равенство Парсеваля . (11)

Равенство Парсеваля выражает закон сохранения энергии: средняя мощность сигнала равна сумме средних мощностей гармоник. Считается, что мгновенная мощность сигнала равна ; в этом случае сигнал рассматривается как изменяющееся электрическое напряжение, действующее на сопротивлении в 1 Ом.

. – Комплексная форма представления сигнала

3. СПЕКТРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ. СПЕКТРЫ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

   Периодические сигналы относятся к детерминированным. Их продолжительность измеряется бесконечностью. Для практики представляют интерес сигналы, действующее ограниченное время. Такие сигналы являются непериодическими. будем рассматривать только ограниченные во времени сигналы, пригодные для передачи сообщений (финитные)

Для получения формул, с помощью которых можно анализировать спектры непериодических сигналов, воспользуемся следующим приемом. Будем рассматривать некоторый заданный непериодический сигнал как часть периодического, укладывающегося в один период. Период выберем так, чтобы он несколько превышал время действия заданного сигнала. Спектр такого сигнала можно получить по уже известным формулам (2),(4) и (7). Далее будем увеличивать период нового сигнала до бесконечности, оставляя длительность сигнала неизменной. Получим периодический сигнал с бесконечно большим периодом. Такой сигнал можно считать уже непериодическим, так как соседние повторения сигнала слева и справа будут удалены в бесконечность и станут недоступными для наблюдения.

Рассмотрим, как с увеличением периода изменится спектр сигнала. Для этого воспользуемся комплексной формой спектра периодического сигнала (7). При увеличении периода и при сохранении длительности сигнала (рис. 5) частота уменьшается, превращаясь в бесконечно малую величину , отрезки линий дискретного спектра, они же отсчеты спектра, сближаются, их высоты (амплитуды гармоник) уменьшаются. При периоде частота становится непрерывной, спектр становится сплошным с бесконечно малыми значениями огибающей амплитуд гармоник. Фактически амплитуды гармоник сливаются, образуя сплошную линию, которая и является огибающей. Однако форма огибающей гармоник при возрастании периода остается неизменной; точки перехода ее через нуль остаются кратными величине .

а) б)

в) Рис.5. Предельный переход к непериодическому сигналу

На практике при изучении спектров непериодических сигналов пользуются спектральной плотностью. От спектра сигнала к его спектральной плотности можно перейти, взяв предел произведения, образующегося при умножении комплексных коэффициентов Фурье на период : .

Окончательно . (14)

Прием, позволяющий перейти от формул гармонического ряда к интегральной формуле (14), называют предельным переходом, имея в виду преобразования величин и функций при переходе от конечного к бесконечно большому.

Спектральная плотность остается комплексной величиной. Она характеризует распределение значений спектра (значений амплитуд гармоник, значений огибающей) по непрерывной частоте . Операции, проводимые в соответствии с (14), в результате которого получают спектр (спектральную плотность) сигнала называют прямым интегральным преобразованием Фурье.

Если известна спектральная плотность, то по ней можно определить сам сигнал. Для этого опять воспользуемся предельным переходом, выполнив его по отношению к ряду Фурье. В результате получим формулу , (15) называемую обратным преобразованием Фурье.

Отметим некоторые свойства преобразований Фурье.

Сигналы и их спектры обладают свойством взаимности и обратимости. Свойство взаимности заключается в том, что конкретному сигналу соответствует только один вполне определенный спектр, и наоборот, каждый спектр принадлежит только одному сигналу. Свойство обратимости заключается в том, что если какой-либо сигнал описать функцией его спектра, то спектр такого сигнала опишется первоначальной функцией сигнала. Другими словами, при взаимной замене независимых переменных в формулах, описывающих сигнал и спектр: времени на частоту и частоты на время, соотношение величин, входящих в формулы, не изменится, спектр и сигнал как бы поменяются местами.

Изменение масштаба времени в раз изменяет спектр сигнала следующим образом: если сигналу соответствует спектр , то сигналу соответствует спектр . При этом множитель, изменяющий масштаб может быть как целым, так и дробным, т.е., или .

Имеют место операции свертки сигналов или сигналов и импульсных характеристик линейных систем. Свертка сигнала и импульсной характеристики в символьной форме записывается как (17)- для непрерывных систем.

Здесь переменные и обозначают непрерывное время. При выполнении интегрирования переменная изменяется «быстрее» относительно переменной .

Одно из важнейших свойств преобразования Фурье заключается в том, что операциям свертки сигнала и импульсной характеристики системы во временной области соответствует произведение их изображений в комплексной области. Формально это свойство можно отразить следующим образом: , (18)

Свертку в комплексной области можно представить так: , (17)

В формуле (17) и - независимые переменные в частотной области, а именно, круговые частоты.