Дельта-функция. Дельта-функция представляет собой бесконечно короткий импульс с бесконечно большим значением (рис.10)

(11).

а) б) Рис.10

Для моментов времени , т.е. при запаздывании эта функция представляется так (рис.10б):

Интеграл от этой функции (13) определяет ее основное свойство: площадь, охватываемая « кривой» этой функции и осью , равен конечной величине. Это свойство позволяет применять эту функцию в свертках и в иных математических образованиях с другими функциями:

, (14) или . (15)

Выражения (14), (15) идентичны, они описывают фильтрующие свойства -функции.

Спектр -функции получают путем преобразования Фурье

. (16)

Это нормированный спектр белого шума; его значения равны единице во всем диапазоне частот (рис.11а). Фазовый спектр отсутствует (равен нулю).

Спектр запаздывающей -функции равен

. (17)

В этом случае имеют место и амплитудный (рис.11а) и фазовый (рис.11б) спектры.

Последний имеет линейный характер.

Последовательность -функций (частокол) аналитически можно представить в виде бесконечного ряда (суммы) -функций, следующих одна за другой с интервалом (дискретизации) :

. (18)

График такой функции показан на рис 12а.

а) б) Рис. 12

Спектр такой функции, получают путем преобразования Фурье выражения (18):

. (19)

5. Дискретные сигналы. Дискретизация сигналов

Непрерывные сигналы изначально непригодны для цифровой обработки. Для того, чтобы можно было осуществлять указанную обработку, непрерывные сигналы должны быть дискретизированы. Дискретизация заключается в выборе отсчетов сигнала , , следующих один за другим через заданные интервалы ; при этом - целое, конечное или бесконечное.

Желательно, чтобы интервалы дискретизации были выбраны таким образом, чтобы потом по отсчетам можно было полностью восстановить исходный сигнал. Другими словами, дискретизацию следует выполнять без потери информации. Дискретизацию осуществляют, руководствуясь теоремой Котельникова (теоремой отсчетов), смысл которой заключается в следующем. Непрерывный сигнал, спектр которого ограничен частотой , можно представить отсчетами, выбранными через интервалы времени, определяемые соотношением . Если спектр ограничен сверху циклической частотой , то интервал дискретизации определяется формулой: . Та и другая формулы идентичны; вторую применяют для циклических частот, первую - для круговых. Мы будем отдавать предпочтение первой

. (1)

Выбор интервала дискретизации, превышающего , приведет к потере информации при восстановлении сигнала по его отсчетам. Наоборот, выбор интервала намного меньше величины, определяемой отношением , может привести к избытку информации, а следовательно к перегрузке машинной памяти.

Дискретный сигнал и его прототип, непрерывный сигнал показаны на рис.1.

Рис.1. Непрерывный и дискретный сигналы