Стационарные сигналы
На практике в основном приходится иметь дело со стационарными сигналами. К стационарным сигналам относят такие, у которых функции математического ожидания и дисперсии остаются постоянными во времени. Стационарные сигналы, как правило, обладают эргодическим свойством, состоящим в том, что значения функций математического ожидания и дисперсии, а также автокорреляции можно определять по одной реализации. Говорят, что усреднение по ансамблю при определении указанных функций можно заменить усреднением по времени.
Очевидно, что усреднение по одной реализации существенно облегчает нахождение характеристик случайного сигнала.
(13)
- оценки функции математического ожидания,
(14)
- несмещенной оценки функции дисперсии,
(14а)
- смещенной оценки функции дисперсии,
Спектры случайных сигналов
При представлении случайного сигнала в виде бесконечного набора реализаций получение его спектра с помощью преобразования Фурье не представляется возможным. Получить и построить спектр одной какой либо реализации вполне выполнимая задача. Для этого достаточно иметь описание реализации в виде математической функции непрерывной или дискретной. Подвергнув эту функцию преобразованию Фурье, получим ее спектр. Для непрерывной функции применяют интегральное преобразование, дающее сплошной спектр. Спектр дискретной реализации можно получить двумя способами. Представив отсчеты реализации коэффициентами Фурье, с помощью ряда Фурье в частотной области можно получить непрерывный (сплошной) спектр. С помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ или БПФ) получают дискретный спектр. Казалось бы, получив спектры всех реализаций и сложив эти спектры можно получить результирующий спектр. Однако из-за бесконечно большого числа реализаций всегда найдется в результирующем спектре для какой-либо гармоники другая с такими же амплитудой и частотой, но с противоположной начальной фазой; а это приведет к взаимной компенсации гармоник. В силу этого обстоятельства результирующий спектр будет просто равен нулю.
Для анализа случайных сигналов пользуются энергетическими спектрами. Имеет место теорема Винера – Хинчина, по которой от корреляционной функции сигнала можно получить его спектр, и, наоборот, по энергетическому спектру сигнала найти его корреляционную функцию. Между энергетическим спектром сигнала и его корреляционной функцией существует однозначное соответствие. Для аналоговых сигналов:
, (16)
,
(17)
и для дискретных сигналов
,
(18)
.
(19)
На практике возможно применение дискретного преобразования Фурье для получения дискретного спектра случайного сигнала. При этом следует учесть следующее. Энергетический спектр является сугубо положительной функцией. Чтобы при вычислениях получались положительные значения спектра, необходимо
,
(20)
.
Сжатие данных
Сжатие данных в системах обработки сигналов сводится к удалению некоторой части информации, содержащейся в сигнале или его спектре, с тем, чтобы при воспроизводстве сжатого сигнала он мог быть восстановлен. Сигнал при восстановлении обычно несколько искажается, однако искажения не должны быть слишком большими с тем, чтобы после восстановления сигнал мог быть распознан. Сжатие выполняется с целью экономии памяти для хранения данных, каналов передачи данных, ускорения обработки информации и т.п.
Известно много способов сжатия данных. Здесь рассмотрим возможность применения известных ортогональных преобразований в алгоритмах спектральных способов сжатия данных о дискретных сигналах. Эти способы позволяют производить сжатие спектра сигнала, а именно, удаление из дискретного спектра малозначащих его составляющих.
Известное преобразование Карунена – Лоева (ПКЛ), применяемое при сжатии, относится к оптимальным, так как позволяет восстанавливать сигнал по сжатому спектру с минимальными ошибками [1]. Однако существенным недостатком этого преобразования является то, что оно не имеет быстрых алгоритмов. В данной работе проведено сравнение спектральных способов, основанных на преобразовании Карунена – Лоева, дискретном преобразовании Фурье (ДПФ) и дискретном преобразовании Уолша (ДПУ). Последние два преобразования допускают применение быстрых алгоритмов, что очень важно для систем, работающих в реальном времени.
Дискретный
сигнал
,
,
предназначенный для сжатия, и его
дискретный спектр
,
представим в виде векторов
и
.
(1)
Вектор и элементы вектора сигнала обозначены строчными буквами, а вектор спектра и его элементы – прописными. Целое называют числом степеней свободы или числом отсчетов сигнала и его спектра. Сигнал действует во временной области, спектр занимает частотную область. В общем, и сигнал и его спектр представляются случайными, т.е., состоящими из бесконечного числа реализаций; сжатию же подвергаются отдельные реализации сигнала или спектра. Для простоты сигнал будем полагать действительным образованием, а его спектр – действительным или комплексным в зависимости от вида преобразования.