1. Панфилов и.П. Теория электрической связи.- м: Радио и связь, 1991.

2. Системы электросвязи/в.П. Шувалов и др.- м: Радио и связь, 1987.

Кездейсоқ шамалардың сипаттамалары.

Х, Y, Z- кездейсоқ шамалар. х, y, z- кездейсоқ шамалардың мәндері.

Үзіліссіз кездейсоқ шама- кейбір интервалдағы қандай болса да х мәнін алады. Алатын мәндерінің саны шексіз. Дискреттік кездейсоқ шама- кейбір ин-тервалдағы алатын мәндерінің саны шектеулі (санақты)- х_i={х₁, х₂, …х_n}.

1. Кездейсоқ шаманың х мәнінің шығу жиілігі:

=m/n (6.1)

мұндағы - тәжірибедегі х мәнінің шығу жиілігі; m- тәжірибе кезіндегі х мәнінің шыққан саны; n- тәжірибенің жалпы саны.

2. Кездейсоқ шаманың х мәнінің шығу ықтималдылығы Р(х):

Р(х)= = (6.2)

Тәжірибе кезінде, егер х мәнінің шыққан саны m>20 болса, онда Р(х).

3. Кездейсоқ шаманың үлестіру функциясы F(x)- бұл Х кездейсоқ шама-ның мәні, х мәнін аспайтын (оған тең немесе одан төмен болатын) ықтималды-лығын көрсететін функция.

F(x)=P(Xx) (6.3)

Үлестіру функцияның қасиеттері: 0F(x)1; F(-)=0; F()=1.

4. Кездейсоқ шаманың ықтималдылық тығыздығы функциясы р(х)- бұл Х кездейсоқ шаманың мәні х мәніне жуықтап тең болатын ықтималдылығын көр-сететін функция:

р(х)Р(Х=х) (6.4)

Ықтималдылық тығыздығы функциясының нормалау шарты:

р(х)dx=1 (6.5)

Кездейсоқ шаманың үлестіру функция мен ықтималдылық тығыздығы функцияның байланысы:

р(х)=dF(x)/dx; F(x)= р(х)dx- үзіліссіз шама үшін (6.6)

F(x_m)= P(х_i)- дискреттік шама үшін (6.7)

мұндағы P(х_i)- кездейсоқ шаманың х_i мәнінің ықтималдылығы.

F(x)- үзіліссіз функция, ал F(x_m)- дискреттік функция.

F(x) және F(x_m)- төмендемейтін, өсетін ғана функциялар.

5. Кездейсоқ шаманың математикалық үміті m (немесе M(X), X)- бұл Х кездейсоқ шаманың орта ықтималдылық мәні:

m=M(X)=X= хр(х)dx- үзіліссіз шама үшін (6.8)

m=M(X)=X= х_iP(х_i)- дискреттік шама үшін (6.9)

Кездейсоқ кернеудің математикалық үміті М(U)- тұрақты құраушының мәні болады.

6. Кездейсоқ шаманың дисперсиясы ² (немесе D(X))- бұл Х кездейсоқ шама мәндерінің, өзінің орта ықтималдылық мәнінен (математикалық үмітінен) ауытқуы квадратының математикалық үміті:

²=D(X)=[X-M(X)]²=(X-X)²=M[X-M(X)]²= (х-m)²р(х)dx=

=M(X²)-M²(X)= х²р(х)dx - [ хр(х)dx]² (6.10)

Кездейсоқ кернеудің дисперсиясы D(U) (_u²)- айнымалы құраушының қу-аты болады.

7. Кездейсоқ шаманың орта квадраттық ауытқуы . Кездейсоқ кернеудің орта квадраттық ауытқуы _u- айнымалы құраушының эффективтік мәні болады.

Кездейсоқ шамалардың үлестіру заңдары.

1. Бiр қалыпты үлестiру заңы.

Оның аты ықтималдылық тығыздығы функцияның түрімен байланысты.

р(х) 1/(х₂-х₁), егер х₁ х х₂

р(х)=

1/(х₂-х₁) 0, егер х<х₁ және х>х₂ (6.11)

х₁ 0 х₂ х

1 F(x) F(x)= р(х)dx= 1/(х₂-х₁)dx=(х-х₁)/(х₂-х₁). (6.12)

0,5

х₁ 0 m х₂ х М(Х)=m= хр(х)dx= хdx/(х₂-х₁)=х²/[2(х₂-х₁)] =

=(х₂²-х₁²)/[2(х₂-х₁)]=(х₂+х₁)/2. (6.13)

²=D(X)=M(X²)-M²(X)= х²р(х)dx - M²(X)=

= х²dx/(х₂-х₁) - (х₂+х₁)²/4=х³/[3(х₂-х₁)] - (х₂+х₁)²/4=

=(х₂³-х₁³)/[3(х₂-х₁)] - (х₂+х₁)²/4=(х₂-х₁)²/12. (6.14)

Нормальды (гаустық) үлестiру заңы.

р(х)

1/(2) ₁ ₂>₁ р(х)=1/(2)exp[-(x-m)²/(2²)] (6.15)

₂

0 m х F(x)= р(х)dx=1/(2) exp[-(x-m)²/(2²)]dx;

(x-m)/=t; dx=dt; x =-, t =-; x=x, t =(x-m)/.

F(x)=1/2 exp(-t²/2)dt = Ф[(х-m)/] = 0,5+Ф₀[(х-m)/]. (6.16)

Ф(z)=1/2 exp(-t²/2)dt - ықтималдылық интегралы.

Ф ₀(z)=1/2 exp(-t²/2)dt - Лаплас функциясы (ықтималдылық интегралы).

Ф^(z)=2/2 exp(-t²/2)dt - Крамп функциясы (ықтималдылық интегралы).

Ықтималдылық интегралдың қасиеттері:

Ф(-z)=1-Ф(z); Ф(-)=0; Ф(0)=0,5; Ф()=1.

Ф₀(-z)=-Ф₀(z); Ф₀(0)=0; Ф₀()=0,5.

Ф^(-z)=-Ф^(z); Ф^(-)=0; Ф^(0)=0; Ф^()=1.

Ф(z)=0,5+Ф₀(z)=0,5[1+Ф^(z)]. (6.17)

Ықтималдылық интеграл- бұл кестелік интеграл. Басқаша, оны жуықтал-ған рекуррентік формула арқылы есептеуге болады:

Ф(z)1-0,65exp[-0,443(z+0,75)²]. (6.18)

Р(Xx₀)=F(x₀)=Ф[(х₀-m)/];

Р(X>x₀)=1-Р(Xx₀)=1-F(x₀)=1-Ф[(х₀-m)/];

Р(x₁<Xx₂)=F(x₂)-F(x₁)=Ф[(х₂-m)/]-Ф[(х₁-m)/].

Бақылау сұрақтары.

5.1 Кездейсоқ процестің кай функциясы үлестіру функциясының туынды-сы боп шығады?

5.2 Кездейсоқ кернеудің математикалық үміті мен дисперсияның физика-лық мағыналары қандай?

5.3 [-26] интервалында бір қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың ықтималдылық тығыздығының және математикалық үмітінің мәні неге тең бо-лады?

5.4 Гаустық кездейсоқ шаманың ықтималдылық тығыздығы:

Шаманың математикалық үміті мен дисперсияның мәнiн анықтаңыз.

5.5 Кездейсоқ шаманың ықтималдылық тығыздығы нормальды үлестiру заңымен сипатталады:

Кездейсоқ шаманың [2; ∞] интервалындағы мәндерiн алатын ықтималдылығы қандай?

24