1. Тиск на плоське горизонтальне дно , точка прикладення – центр ваги площадки . Якщо визначимо силу гідростатичного тиску Р на площадку як , то , де _над – сила надлишкового тиску.

2. Тиск рідини на повільно орієнтовану плоську поверхню.

D

Рис. 9. Вивод значення і точки прикладення сили гідростатичного тиску на

поську поверхню.

Тут : С- центр ваги

D- центр тиску

P- визначення тиску, Па

- визначення сили, Н

У межах площадки виберемо нескінченно малу площадку – на глибині h на відстані X від вісі Z та Z від вісі X.

h_c – відстань від вільної поверхні рідини до центру С ваги площадки – глибина занурення центру ваги.

h_D – глибина занурення точки прикладення ріводіючої сили гідростатичного тиску – глибина занурення центру тиску.

X_c, X_D; Z_c, Z_D – координати вказаних центрів.

Сила гідростатичного тиску, що діє на елементарную площадку d :

Повна сила гідростатичного тиску на площадку :

(2)

Оскільки на вільну поверхню тиск діє постійний по величині тиску, то інтеграл від константи:

Другий інтеграл:

статичний момент площадки відносно вісі ОХ, тому

підставивши обидва інтеграли у вираз рівнодіючої сили (2), отримаємо:

Сила повного гідростатичного тиску на повільно оієнтовану плоську поверхню рівна добутку повного гідростатичного тиску у центрі ваги площадки, що розглядається, на величину цієї площадки.

Координати центру тиску (точки прикладання сили повного гідростатичного тиску) визначаються як для рівнодіючої паралельних сил - сили надлишкового тиску та сили тиску на вільну поверхню:

Р₀ прикладається у центрі ваги площадки , що розглядаєтсья, (якщо Р₀=Р_атм, відкрита поверхня води), то сила Р₀ часто виключається з розрахунків.

Визначаємо точку прикладання _над (X_D;Z_D).Складемо рівняння моментів відносно вісі OX на підставі теореми Варіньона (момент рівнодіючої сил дорівнює сумі моментів всіх складаючих сил відносно любої вісі для тіла, що знаходиться у стані механічної рівноваги):

,тобто

_D , де

d _над - елементарна сила надлишкового тиску на елементарну площадку d на відстані Z від вісі OX.

_над – сила надлишкового тиску на всю площадку .

де h=zsin

Тут - момент інерції площадки – відносно вісі OX - :

- центральний момент інерції – відносно вісі, яка проходить крізь центр ваги С і паралельно вісі Х:

_D

Центр тиску завжди знаходиться нижче, ніж центр ваги.

Складемо рbвняння моментів відносно вісі Z і отримаємо координату X_D – точки прикладання рівнодіючої сили надлишкового тиску – центру тиску.

Для площадок, які симетричні відносно вісі, паралельної вісі ОХ, центр ваги і центр тиску розташовані на однієї вертикалі прямій, паралельній вісі Z.

3. Тиск рідини на криволінійну поверхню.

Виберемо у середині рідини, що знаходиться у стані спокою, уповільнений об’єм W , відмежений поверхнею S.

Рис. 10. Сила гідростатичного тиску на криволінійну поверхню.

Сили гідростатичного тиску спрямовані по внутрішнім нормалям до межевої поверхні.

Виділемо криволінійну площадку d . На неї буде діяти сіла повного гідростатичного тиску dP з проекціями dP_x, dP_y, dP_z. Тоді з рівняння (1) маємо:

- проекція площадки – на площину, яка перпендикулярна вісі ОХ

- перпендикулярна вісі OY

- вісі OZ

Для проекції dP_z на площину, перпендикулярну вісі OZ, вираз

можна переписати у вигляді:

, де W_тт - об’єм рідини, який називається тілом тиску.

Тіло тиску – це об’єм рідини, утворений площадкою, що розглядається, по нижній утворюючий криволінійної поверхні, а також вертикальною поверхнею, встановленою від меж цієї криволінійної поверхні до вільної поверхні рідини чи її подовження. Якщо тіло тиску знаходиться із змочуваної сторони поверхні, воно вважається негативним (перед формулою ставиться мінус), а якщо зі сторони, яка не змочуєіться, то позитивним (зі знаком плюс).

Рис. 11. Приклад визначення „тіла тиску”.

Для результуючої сил повного гідростатичного тиску на криволінійну поверхню отрімаємо вирази

Для результуючої надлишкового гідростатичного тиску на криволінійну поверхню маємо аналогічні вирази:

Напрямок вектору сили повного або надлишкового гідростатичного тиску визначається кутом 

чи

Закон Архімеда.

На тіло, занурене у рідину діє сила гідростатичного тиску, або підйомна сила, яка дорівнює по величині вагу рідину, витиснену тілом. Вона спрямована вертикально вгору і проходить крізь центр ваги витисненої рідини.

Рис.12. Закон Архімеда с точки зору визначення гідростатичного тиску

на криволінійні поверхні.

На поверхню АВС діє сила

На поверхню АDС діє сила -

Результуюча сила: сила Архімеда:

Підйомна сила прикладена у центрі зануреної частини тіла, який називається центром водозміщення. Тіло плаває, якщо вага його не перевищує підйомну силу, яка діє з боку рідини.

Епюри повного та надлишкового гідростатичних тисків.

1. Н а вертикальну стінку:

Рис. 13. Епюри гідростатичного тиску на плоські вертикальні поверхні.

- сила надлишкового тиску

- відстань від вільної поверхні рідини до центру тиску.

b) На схилену стінку:

- сила надлишкового тиску.

_D

Рис. 14. Епюри гідростатичного тиску на похилені поверхні.

Лекція 4.

Гідродинаміка. Основні поняття та терміни.Закон сталості потоку.

Гідродинаміка розглядає основні закони руху рідин. Параметри, які характеризують рух-швидкість та тиск, змінюються у потоці і у часі. Основна задача гідродинаміки полягає у находженні функції вида.

Тут U і P – швидкість та тиск у точці, що розглядається;

Z, Y, Z – координати точки у просторі;

– час.

Усталенний рух – коли швидкість і тиск у любої точці потоку не змінюється з часом, а залежить тільки від координат точки:

Приклад усталенного руху – стечіння води з отвору при постійному напорі, течія у трубці при поданні насосом постійної витрати. Приклад неусталенного руху – стечіння води з резервуару при непостійному напорі, коли в резервуар не подається постачальна витрата.

Лінія току – крива, у якої в усіх точках вектри швидкостей будуть дотичні до неї.

Елементарна струминка – це рідини, що рухується усередині нескінченно малого перерізу рідини, обмеженого лініями току.

Потік – сукупність елементарних струминок, які являють собою масу частинок, що рухаються у будь-якому напрямку. Потік може бути обмежений твердими стінками (у трубі) або бути вільним (струмина).

Живий переріз потоку - - це поперечний переріз, перпендикулярний до напрямку потоку.

Витрата потоку - Q - об’єм рідини, який проходить крізь живий переріз потоку в одиницю часу.

W - об’єм рідини, [м]

- час у секундах [у СІ]

Витрата рідини у системі СІ виміряють в м³/с.

Змочений периметр – – частина периметру живого перерізу, по котрій рідина дотикається до твердих стінок.

Гідравлічний радіус - R_г - відношення плошини живого перерізу до змоченого периметру.

Для круглого перерізу радіуса r:

Тому гідравлічний радіус не є рівним її геометричному радіусу. Гідравлічний радіус має канал будь-якої форми.

Середня швидкість потоку - - частка від ділення витрати потоку Q на площину живого перерізу :

Це та швидкість, яку мали б усі частинки потоку, щоб крізь його живий переріз проходила і витрата Q.

Місцева швидкість – або швидкість у точці – U – швидкість частинки. Місцеві швидкості змінюються по живому перерізу потоку від нульового значення повздовж стінок до максимального – у центрі перерізу (в трубі), або на вільній поверхні рідини (в каналі). Характер розподілу їх поперерізу, у загальному випадку,параболічний.

Для труби Для каналу

U U

Рис. 15. Епюри місцевих (u ) і середніх (v ) швидкостей для труби (ліворуч) і каналу.

Рівномірним називається такий усталений рух, при якому живий переріз і середня швидкість рідини не змінюються по довжині (в трубі при постійному напорі).

Нерівномірним рухом називається такий усталений рух, коли порушена його рівномірність (рух у річці, у загальному випадку). Лінії руху при рівномірному русі є паралельні. Такий рух ще називається паралельнострумним.

Гідродинаміка як наука розглядає рух як плавнозмінний усталений при цьому передбачається (рух у природних руслах), що кривізна ліній току незначна, кут їх розходження дуже малий, живі перерізи потоку є плоські, тиск у живому перерізі розподіляється по гідростатичному закону, тобто по закону прямої лінії. Сили інерції в загальне математичне ривняння не входять, тому що вони перпендикулярні до площини живих перерізів. В це рівняння входить тільки сила гідростатичного тиску.

Напорним називається потік рідини, у котрого по всьому периметру живого перерізу рідина дотикається до твердих стінок (приклад: рух у водопровідній трубі).

Безнапорний потік – це потік з наявністю вільної поверхні рухомої рідини (приклад: рух у каналізаційній трубі при неповному заповненні, рух у каналі).

Закон сталості витрати і нерозривності потоку.

Розглянемо усталений рух у жорсткому русі мінливого перерізу. Виберемо два свовільні перерізи 1-1 і 2-2, які є нормальні до вісі потоку і розглянемо ділянку потоку між цими перерізами.

m₁ i m₂ – маси рідини у перерізах 1-1 і 2-2

і - її щільності

Q₁ i Q₂ – витрати в цих перерізах

= , тому що рідина однорідна і нестислива.

m₁=m₂, тому що стінки русла жорсткі.

= , тому що процес розглядається в єдиний момент часу.

Рис. 16. Закон нарозривності (або сталості) витрати потоку.

Тому:

При усталеному русі нестислимої рідини її витрата у будь-якому перерізі – стала - закон сталості витрати.

Виразимо в вищеозначеному рівнянні усталеного потоку витрату як добуток швидкості на площу живого перерізу, отримаємо:

Для будь-якого живого перерізу усталеного потоку добуток швидкості на площу живого перерізу – величина постійна – закон нерозривності потоку.

У диференціальній формі цей закон виражається рівнянням:

Тут U_x, U_y, U_z – місцеві швидкості частинок відносно вісей X, Y, Z.

X, Y, Z – координати частинок.

Закони постійності витрати і нерозривності потоку справедливі і для газів, якщо не враховувати їх стисливість.

Лекція 5.

Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини і елементарної струминки.

П’єзомеричний і гідравлічний ухил. Водомір Вентурі.

Рис. 17. До виводу рівняння Бернуллі потоку реальної рідини.

Розглянемо потік реальної рідини з плавнозмінним рухом. Виберемо два свовільних перерізи 1-1 і 2-2, які є нормальні до вісі потоку, і розглянемо ділянку потоку, замкнену поміж ними. Означимо швидкості в цих перерізах V₁ i V₂; площі живих перерізів W₁ i W₂; гідравлічні тиски у центрах ваги цих перерізів р₁ і р₂; відстані до площини порівняння О-О-Z₁ та Z₂.

Застосуємо до ділянки потоку, замкненої поміж перерізами 1-1 та 2-2 закон збереження енергїї. За час частинки рідини перейдуть у положення , а з перерізу 2-2 – в положення -. При цьому будуть пройдені шляхи V₁ і V₂ .

Крізь переріз 1-1 за час пройде об’єм рідини Q₁ , а цей же час крізь переріз 2-2 пройде об’єм рідини Q₂ . Найдемо кількість енергії, внесеної потоком в участок, що розглядається за час крізь переріз 1-1.

Об’єм рідини володіє масою

Потенційна енергія цього об’єму:

А кінетична енергія уього ж об’єму : . Об’єм, що розглядається, володіє також енергією тиску. Уявимо, що у перерізі 1-1 є поршень, що рухається з швидкістюV₁ у напрямку перерізу 2-2. Цей поршень за час пройде шлях . Сила тиску на поршень P₁ . Тоді робота поршню . Потенційна енергія об’єму, що розглядається:

Тоді загальна кількість енергії, внесеної потоком до розглядаємої ділянки за час крізь переріз 1-1 буде дорівнювати:

Аналогічно, сумарна енергія потоку, що внесена потоком крізь переріз 2-2 дорівнює:

За законом зберегання енергії сумарна енергія, внесена крізь переріз 1-1 при усталеному русі, повинна дорівнювати сумарній енергії, внесеної крізь переріз 2-2 з урахуванням затрат нергії на подолання гідравлічних опорів на ділянці, що розглядається.

Втрачену енергію можна передати у вигляді добутку ваги об’єму,що розглядається, на деяку висоту h_{вm 1-2} – у вигляді потенційної енергії втрат висоти або напору:

Тоді^

Згідно з рівнянням сталості витрат Q₁=Q₂=const. для нестисливої однорідної рідини.

Тому можна дорівняти обоє рівнянь для перерізів 1-1 і 2-2.

Віднесемо оба до ваги рідини та отримаємо:

Цей вираз є рівнянням Бернулі для потоку реальної рідини.

Z – відстань центру ваги перерізу, що розглядається, від площини порівняння, Р – тиск у центрі ваги перерізу; V – середня швидкість у перерізі; h_вит – питома енергія, втрачена на подолання опорів від початкового перерізу до того, що розглядається.

Якщо ураховувати нерівномірність розподілу швидкостей по живому перерізу потоку, то рівняння Бернулі отримує кінцевий вигляд:

(1)

Тут  - коефіціент Коріоліса, ураховуючий вплив нерівномірності розподілу швидкостей по перерізу на питому кінетичну енергію потоку. Коефіціент  змінюється у межах 1-2, причому його приблизне значення можна брати рівним одиниці.

Сума двох перших доданків рівняння є п’єзометричним напором (порівняймо з основним рівнянням гідростатики)

- швидкісний чи динамічний напір;

h_вт – втрачений або загублений напір;

H – повний гідродинамічний напір.

Геометричний зміст рівняння Бернулі.

Всі доданки рівняння (1) виражаються в одиницях довжини.

Z – геометрична висота або висота положення.

або - п’єзометрична висота або висота гідродинамічного напору.

- висота втрат напору.

При усталеному русі рідини сума 4-х висот (висоти положення, п’єзометричної висоти, швидкісного напору і висоти витрат напору ) залишається незмінною повздовж потоку.