Вычисление координат вектора по координатам точек начала и конца.
Задача.
В аффинной системе координат дан вектор
,
для которого известны координаты точек
начала и конца. Вычислить координаты
вектора
.
Д
ано:
R=(О,
).
А(xL;yL;zL)
B(xB;yB;zB)
Вычислить:
Координаты
Решение
Введём
в рассмотрение радиус−векторы
и
точек А и В. Тогда
.
По определению координат точки
=
{
xL;yL}
и
=
{
xB;yB
}. Учитывая следствие из теоремы о
координатах разности векторов, получаем:
= {xB−xL; yB− yL; zB− zL} |
Вывод: Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора.
Формула вычисления расстояния между двумя точками.
Задача вычисления расстояния между двумя точками является метрической задачей. Метрические задачи, как правило, решают в прямоугольной системе координат.
Задача. В прямоугольной системе координат даны точки А и В своими координатами. Вычислить расстояние между этими точками.
Дано:
R=
(O,
)
А(xL;yL;zL)
B(xB;yB;zB)
Вычислить: │АВ│ Рис.3
Решение.
│АВ│ |
Деление отрезка в данном отношении.
Пусть дана прямая ℓ и точки А, В и С принадлежащие прямой ℓ.
Определение.
Отношением,
в котором точка С делит отрезок АВ
называется число
. Обозначение λС=(АВ,С).
Рис.4
Число
λ может принимать как положительные
так и отрицательные значения. Так, на
рис. 4 а) векторы
и
сонаправлены
и,
поэтому, λ > 0; то есть точка С лежит
на отрезке АВ. В случае, приведённом на
рис.4б),
и
противоположно направлены и, следовательно,
λ < 0, а точка С лежит вне отрезка АВ.
Число
λ не может принимать значение равное
− 1, так как в этом случае
= −
=>
=
=> А = В, что означает отрезов вырождается
в точку.
Задача. В аффинной системе координат даны точки А и В своими координатами и известно отношение, в котором точка С делит отрезок АВ. Вычислить координаты точки С.
Д
ано:
R=(О, ).
А(xL;yL), B(xB;yB)
(АВ,С) = λС
Найти: С(xC, yC).
Решение.
По
определению
=>
=
λС*
.
Так как
и
то
=>
.
Векторы
− радиус-векторы точек А, В, и С, поэтому
.
По теореме о координатах линейной комбинации векторов имеем:
|
,
Следствие.
Если
точка С является серединой отрезка АВ,
то λС
= 1. =>
Середина отрезка имеет координат
,
.