5.Расстояние от точки до прямой.

Определение. Расстоянием от точки М до прямой ℓ является длина перпендикуляра, опущенного из точки М на l прямую ℓ.

Рис.13

Теорема IV. Расстояние от точки М₀( x₀ ; y₀ ) прямой ℓ, заданной уравнением общего вида : ℓ: Ах+Ву+С=0, вычисляется по

формуле : .

Доказательство.

Пусть в прямоугольной системе координат задана прямая ℓ: Ах+Ву+С=0 и т. М₀(x₀; y₀), не лежащая на этой прямой . Вычислим расстояние от точки М_о до прямой ℓ. Заметим ,что => || , где точка Н – основание перпендикуляра, опущенного из точки М₀ на прямую ℓ, координаты которой Н( x_H; y_H ).(Рис.13)

Тогда .

Откуда следует, что ρ(М₀,ℓ) = ǀНМǀ= ǀ( , )ǀ/ǀ ǀ. Учитывая, что( , )= А(x_H-x₀) +B(y_H-y₀); и так как точка Н лежит на прямой ℓ, то есть Ах_Н + Ву_Н + С=0, получаем:

(10)

§4. Угол между двумя прямыми на плоскости.

1. Прямые заданы общими уравнениями.

Пересекающиеся прямые ℓ и ℓ₁ образуют две пары вертикальных углов. В этом случае углом между прямыми называют один из пары меньших вертикальных углов.

Рис.14

В обоих случаях, угол между прямыми равен углу между направляющими векторами этих прямых или 180⁰ - .

Рассмотрим случай когда прямые заданы уравнениями общего вида:

ℓ₁: А₁х + В₁у + С₁ = 0 и ℓ₂: А₂х + В₂у + С₂ = 0 .

Тогда направляющие вектора прямых имеют координаты и . Тогда для вычисления величины угла между прямыми получаем формулу:

(21)

2. Прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами.

Рис.15

Рассмотрим случай, когда две пересекающиеся прямые заданы в прямоугольной системе координат уравнениями с угловыми коэффициентами. ℓ₁: и ℓ₂ : . Обозначим через угол наклонна прямой ℓ₁ к оси (Ох) , а через угол наклонна прямой ℓ₂ к оси (Ох). Угол между прямыми обозначим через .

Так как угол внешний угол ∆АВС, то => . Учитывая, геометрический смысл углового коэффициента прямой имеем:

. Таким образом из последнего выражения получаем формулу для вычисления угла между прямыми в случае, если они заданы уравнениями с угловым коэффициентом.

(22)

Литература

1. Атанасян Л.С. Геометрия : в 2 ч. – Ч. 1 : учебное пособие / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. – 2-е изд., стер. – М. : КНОРУС, 2011. – 400 с.

2. Атанасян Л.С. Геометрия : в 2 ч. – Ч. 2 : учебное пособие / Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. – 2-е изд., стер. – М. : КНОРУС, 2011. – 424 с.

3. Ильин В. А. Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. Учебное пособие. /Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия. 7-е изд., стер. –М.: Физматлит, 2009. - 113 с.

4. Кадомцев С. Б. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М.: Физматлит, 2011. - 168 с.

5. Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. Геометрия Ч.I Просвещение, 1986.

6. В.Т.Базылев, К.И. Дуничев, В.П. Иваницкая. Геометрия Ч. I Просвещение, 1974.

7. Л.С. Атанасян. Геометрия. Ч. I Просвещение 1973.

8. Э.Ф. Капленко. С.Г. Маркова. Сборник задач по геометрии. Ч I. Воронеж: Издательство ВГПУ, 2003− 84с.

9. Э.Ф. Капленко. С.Г. Маркова.Сборник задач по геометрии. Ч II Воронеж: Издательство ВГПУ, 2005− 84с.

Дополнительная литература

1. Шафаревич И. Р. Линейная алгебра и геометрия. М.: Физматлит, 2009. - 509 с. http://www.biblioclub.ru/book/68387/

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник для ВузовРекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебникаМ.: Физматлит, 2009. - 309 с.

http://www.biblioclub.ru/book/83040/

Протасов Ю. М. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Курс лекций для студентов заочного отделения М.: Издательство «ФЛИНТА», 2012. - 168 с.

http://www.biblioclub.ru/book/115117/

3. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Учебник для ВузовРекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебникаМ.: Физматлит, 2009. - 309 с.

10. Шафаревич И. Р. Линейная алгебра и геометрия. М.: Физматлит, 2009. - 509 с.