§3.Общее уравнение прямой.

1. Прямая, как линия первого порядка.

Определение. Линия называется линией первого порядка, если её уравнение содержит переменные в первой степени.

Теорема I. Любая прямая в некоторой системе координат на плоскости определяется уравнением первого порядка Ах+Ву+C =0.

И наоборот любое уравнение первого порядка Ах+Ву+C =0 в некоторой системе координат на плоскости задаёт в пряммую.

Доказательство.

1. Пусть на плоскости дана прямая ℓ. Введём на плоскости систему координат. Тогда, в зависимости от способа задания прямой её уравнением будет одно из следующих:

; ;

; .

Каждое из этих уравнений является уравнением первого порядка, которое легко приводится к виду Lx+By+C=0 .Ч.т.д.

2. Пусть на плоскости в некоторой системе координат дано уравнение Lx+By+C=0. Выясним, какая фигура Φ определяется этим уравнением.

Возьмём точку М₀(-С/L; 0) и вектор .

Составим уравнение прямой ℓ, заданной точкой М₀ и направляющим вектором .

Раскрыв определитель, получим Ах+Ву+Сz=0.

Очевидно, что всякая точка, принадлежащая фигуре Φ имеет координаты, удовлетворяющие уравнению Ах+Ву+Сz=0. С другой стороны, Любая точка, принадлежащая прямой ℓ , имеет координаты, удовлетворяющие тому же уравнению, => фигура Φ является прямой ℓ .

Теорема доказана.

Следствие 1. Коэффициенты А и В в уравнении плоскости имеют простой геометрический смысл. Они определяют координаты направляющего вектора прямой. .

Следствие 2. Коэффициенты А, В в уравнении прямой имеют простой геометрический смысл. Они определяют координаты нормального вектора прямой: .

В самом деле. => Это означает, что перпендикулярен прямой Lx+By+C=0.

2.Расположение прямой относительно системы координат.

Напомним, что если аффинной системе координат задана прямая ℓ уравнением Lx+By+Cz=0 и вектор является направляющим вектором прямой .Рассмотрим частные случаи расположения прямой ℓ относительно системы координат .

1. Пусть А≠0, В≠0, C =0. В этом случае координаты начала системы координат О(0;0) удовлетворяют уравнению Ах+Ву=0. => прямая проходит через начало координат.

2. Пусть А=0, В≠0, С≠0 . By+C=0. В этом случае вектор (1;0) параллелен направляющему вектору прямой , поэтому ℓ||Ох.

3) Пусть А≠0, В=0, С≠0. Уравнение плоскости имеет Ах+С =0.

В этом случае (0;1) || α, поэтому ℓ || Оу.

4 ) Пусть А≠0, В=0, С=0. Уравнение имеет Ах=0. В этом случае координаты начала системы координат О(0;0) удовлетворяют уравнению прямой ℓ и так как В=0, то прямая ℓ совпадает с осью (Оу). => уравнение х=0 является уравнением оси (Оу).

5 ) Пусть А=0, В≠0, С=0. Уравнение имеет Ву=0. В этом случае координаты начала системы координат О(0;0) удовлетворяют уравнению прямой ℓ и так как А=0, то прямая ℓ совпадает с осью (Ох). => уравнение у=0 является уравнением оси (Ох).

Условие	Уравнение прямой ℓ	Расположение прямой ℓ	Чертёж
С=0	Аx+By=0	О(0;0) ℓ
А=0 В≠0, С≠0	By+C=0	ℓ ‖ (Ох)
А≠0, В=0, С≠0	Аx+C=0	ℓ ‖ (Оy)
А≠0, В=0, С=0.	Аx=0 или x=0	ℓ =(Оу)
А=0, В≠0, С=0.	By=0 или у=0	ℓ=(Ох)