2.2. Задание 3

Задание 3. Построить горизонтальную проекцию шара со сквозным отверстием в виде трехгранной призмы. Радиус шара R=50мм; центр шара расположен в точке О с координатами х=90мм, y=55мм и z=50мм; фронтальная проекция отверстия задана треугольником .

Координаты x и z точек A, B и D приведены в таблице 2.1. Вариант задания выбирается по последней цифре учебного шифра.

Задание может быть представлено, как задача построения линии пересечения многогранной и кривой поверхностей.

Линия пересечения многогранной и кривой поверхностей является совокупностью нескольких плоских кривых, каждая из которых - результат пересечения кривой поверхности с одной из граней многогранника (отверстия). Эти плоские кривые AB ( ), BD ( ) и AD ( ) на рис. 2.3 попарно пересекаются в точках A ( ), B ( ) и D ( ) пересечения ребер многогранника (отверстия) с кривой поверхностью. В нашем случае пересечение относится к виду проницание, поэтому эта совокупность плоских кривых распадается на две части – переднюю и заднюю.

Последовательность выполнения задания следующая.

На эпюре (рис. 2.3) по заданным координатам строим точку O ( ) – центр шара и фронтальные проекции точек АВС, образующие треугольник следов граней отверстия. Далее тонкими линиями из центра О (О₁,О₂) проводим фронтальный и горизонтальный очерки сферы (окружности R=50 мм).

Таблица 2.1

Координаты точек (в мм) к заданию 3

Последовательность выполнения задания следующая.

На эпюре (рис. 2.3) по заданным координатам строим точку O ( ) – центр шара и фронтальные проекции точек АВD, образующие треугольник следов граней отверстия. Далее тонкими линиями из центра О (О₁,О₂) проводим фронтальный и горизонтальный очерки сферы (окружности R=50 мм).

Поскольку грани отверстия перпендикулярны плоскости П₂, то на фронтальной проекции решение является очевидным и определяется треугольником следов А₂В₂D₂.

Р ис. 2.3 Пример выполнения задания 3

Прежде, чем начать построения на горизонтальной плоскости проекций, необходимо вспомнить, что любая плоскость пересекает сферу по окружности, ориентация которой в пространстве определена положением самой секущей плоскости. Здесь следует различать три основных случая:

а) секущая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П₁ (является горизонтально проецирующей). В этом случае окружность на горизонтальной плоскости проекций П₁ вырождается в отрезок;

б) секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекций П₁. В этом случае окружность проецируется на неё натуральной формой и величиной;

в) секущая плоскость ориентирована в пространстве произвольным образом. В этом случае окружность проецируется на горизонтальную плоскость проекций П₁ в виде эллипса.

Анализ условий задачи позволяет установить, что каждая из граней отверстия может быть рассмотрена как некоторая плоскость, пересекающая сферу по одному из трех указанных вариантов.

Действительно, правая грань отверстия, заданная следом B₂D₂ , соответствует первому случаю, т.е. отрезку (см. рис.11) на плоскости П₁.

Нижняя грань отверстия, заданная следом , соответствует второму случаю, т.е. окружность - параллель на плоскость П₁ проецируется в натуральную величину. Ее центр расположен в точке О₁, а радиус равен .

Левая грань отверстия, заданная следом А₂В₂, соответствует третьему случаю, т.е. окружность на плоскость П₁ проецируется в виде эллипса, фронтальные проекции всех точек которого известны и принадлежат отрезку А₂В_2.

Эту задачу можно решить без применения способа вспомогательных поверхностей. Задать точку на поверхности вращения или построить вторую проекцию, если одна известна, можно при помощи параллели, которая проходит через эту точку. Поэтому горизонтальные проекции точек, принадлежащих линии пересечения, строим при помощи параллелей поверхности шара.

Сначала строим опорные точки линии пересечения. Прежде всего, это точки A,B и D пересечения ребер отверстия с поверхностью шара.

Через точки и проводим фронтальную проекцию параллели - и определяем её радиус - . На плоскости строим горизонтальную проекцию параллели - , т.е. из точки проводим окружность радиусом . Горизонтальные проекции и точек A и D определяем в пересечении и линий связи, проведенных через точки и соответственно.

Точку строим по аналогичной схеме при помощи параллели .

Далее строим горизонтальные очерковые точки , принадлежащие линии АВ. Эти точки являются точками смены видимости линии на плоскости проекций . Они принадлежат экватору, а их горизонтальные проекции принадлежат горизонтальному очерку шара.

Строим точки , которые являются самой дальней и самой ближней точками относительно фронтальной плоскости проекций. Для этого из точки опускаем перпендикуляр на и определяем точку . Через неё проводим фронтальную проекцию параллели и далее по схеме.

Промежуточные точки и на грани АВ выбираем произвольно и строим по аналогичной схеме. Количество промежуточных точек определяется требуемой точностью построения линии. Полученные точки соединяем плавной кривой тонкой линией.

Обводим чертеж с учетом видимости линий.

Фронтальные очерки шара и отверстия изображаем линиями видимого контура.

На горизонтальной плоскости проекций видимым участком линии является участок , расположенный выше плоскости видимости  (рис. 16) на верхней обращенной к наблюдателю половине поверхности шара. Точка так же, как и точка , принадлежит экватору шара. Невидимый участок закрыт линией видимого контура и на чертеже не изображается.

Видимым участком линии будет участок , расположенный на верхней, обращенной к наблюдателю, половине поверхности шара (сплошная толстая линия). Участок - невидимый (штриховая линия).

Линия расположена на нижней невидимой для наблюдателя половине поверхности шара, поэтому должна быть невидимой. Однако из-за наличия отверстия участок этой линии будет видимым (сплошная толстая линия). Участок - невидимый (штриховая линия).

Участки и ребер отверстия – невидимые (штриховая линия), так как расположены внутри шара.

Горизонтальный очерк шара на участке отсутствует из-за наличия отверстия, поэтому изображается сплошной тонкой линией. Остальная часть горизонтального очерка шара изображается сплошной толстой линией.

Проверяем правильность определения видимости очерков заданных тел и линий пересечения на плоскости . Видимые линии очерка и видимые линии пересечения переходят одна в другую и составляют замкнутый контур, следовательно, видимость линий определена правильно.