Задача 2 Временной ряд

В базе данных магазина также содержится информация об объеме ежемесячных продажах автомобилей за прошлый год, представленная в таблице 7.

Таблица 7

Месяц, t	Объем продаж (тыс. у.е.) Zt
1	215
2	223
3	261
4	292
5	268
6	345
7	296
8	337
9	335
10	360
11	408
12	361

1. Представить графически ежемесячные объемы продаж автомагазина. На основе визуального анализа построенного графика выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости объема продаж от времени и записать ее математически.

2. Методом наименьших квадратов найти оценку уравнения линейного тренда

Z_t = γ₀ + γ₁t.

3. Для линии тренда построить доверительную полосу надежности 0,975. Нарисовать ее на графике вместе с линией тренда и исходным временным рядом.

4. С помощью уравнения тренда найти точечный и интервальный прогноз (надежности 0,975) среднего объема продаж для t = 15.

Решение

1. Построение графика ежемесячных объемов продаж автомагазина.

На основании визуального анализа ломаной линии динамики продаж можно выдвинуть гипотезу о существовании линейного тренда – устойчивого роста среднего уровня временного ряда:

Z_t = γ₀ + γ₁t + ε_t,

где γ₀, γ₁ – неизвестные параметры, ε_t – случайные возмущения.

2. Нахождение оценок уравнения линейного тренда методом наименьших квадратов.

Таблица 8

Сумма	t	Zt	Zt*t	t2
	1	215	215	1
	2	223	446	4
	3	261	783	9
	4	292	1168	16
	5	268	1340	25
	6	345	2070	36
	7	296	2072	49
	8	337	2696	64
	9	335	3015	81
	10	360	3600	100
	11	408	4488	121
	12	361	4332	144
	78,00	3701,00	26225,00	650,00

=209,8485.

= 15,1643.

Следовательно, уравнение тренда (регрессии) имеет вид:

_t = 209,8485 + 15,1643t.

3. Доверительный интервал для линейного тренда Z_t = γ₀ + γ₁t находится по формуле:

t – номер временного отсчета (месяца), для которого определяется доверительный интервал; – это выборочное среднее временных отсчетов.

Уровню надежности 0,975 соответствует уровень значимости 1-0,975 = 0,025.

= 2,6810.

Таблица 9

t	Zt	t	et	et2	t -	(t - )2	Корень	*2,6810
1	215	225,0128	-10,0128	100,2562	-5,5	30,2500	0,2949	18,7896	206,2232	243,8024
2	223	240,1771	-17,1771	295,0528	-4,5	20,2500	0,2249	14,3336	225,8435	254,5107
3	261	255,3414	5,6586	32,0198	-3,5	12,2500	0,1690	10,7687	244,5727	266,1101
4	292	270,5057	21,4943	462,0049	-2,5	6,2500	0,1270	8,0951	262,4106	278,6008
5	268	285,6700	-17,6700	312,2289	-1,5	2,2500	0,0991	6,3127	279,3573	291,9827
6	345	300,8343	44,1657	1950,6091	-0,5	0,2500	0,0851	5,4215	295,4128	306,2558
7	296	315,9986	-19,9986	399,9440	0,5	0,2500	0,0851	5,4215	310,5771	321,4201
8	337	331,1629	5,8371	34,0717	1,5	2,2500	0,0991	6,3127	324,8502	337,4756
9	335	346,3272	-11,3272	128,3055	2,5	6,2500	0,1270	8,0951	338,2321	354,4223
10	360	361,4915	-1,4915	2,2246	3,5	12,2500	0,1690	10,7687	350,7228	372,2602
11	408	376,6558	31,3442	982,4589	4,5	20,2500	0,2249	14,3336	362,3222	390,9894
12	361	391,8201	-30,8201	949,8786	5,5	30,2500	0,2949	18,7896	373,0305	410,6097
Сумма	3701	3700,9974	0,0026	5649,0548	0	143,0000	2	127,4424	3573,5550	3828,4398

23,7677.

Графа «Корень» таблицы 9 содержит выражение:

4. Точечный и интервальный прогноз (надежности 0,975) среднего объема продаж для t = 15.

Находим точечный прогноз:

₁₅ = 209,8485 + 15,1643t = 209,8485 + 15,1643 * 15 = 437,3280.

Находим интервальный прогноз:

.

= 388,4418.

= 437,3280 + 2,6810 * 18,2343 = 486,2142.

Ответ.

1. Гипотеза о существовании линейного тренда – устойчивого роста среднего уровня временного ряда: Z_t = γ₀ + γ₁t + ε_t, где γ₀, γ₁ – неизвестные параметры, ε_t – случайные возмущения.

2. Оценка уравнения линейного тренда: _t = 209,8485 + 15,1643t.

3. Доверительные полосы (надежности 0,975) изображены на рис.5. вместе с линией тренда и исходным временным рядом.

4. Точечный прогноз: ₁₅ = 437,3280.

Интервальный прогноз. Нижняя граница доверительного интервала в точке t = 15: = 388,4418. Верхняя граница доверительного интервала в точке t = 15: = 486,2142.