Задача 3 Проверка моделей на автокорреляцию и мультиколлинеарность

1. Для регрессионных моделей:

Y = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + ε и

Z_t = γ₀ + γ₁t + ε

с помощью критерия Дарбина – Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости 0,05.

2. Для регрессионной модели

Y = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + ε

проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:

а) парный коэффициент корреляции;

б) критерий «хи-квадрат» χ² на уровне значимости 0,05.

Решение

1. Проверку наличия или отсутствия автокорреляции ошибок регрессии проводим с помощью статистики Дарбина – Уотсона:

,

где e_t = y_t - _t – отклонения от линии регрессии, t = 1,2, …, n.

1. Проверка регрессионной модели: Y = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + ε.

Таблица 10

t	yt	xt1	xt2		et
1	9,0	5,0	119,0	7,7583	1,2417	1,5418	0	0,0000
2	8,6	4,0	89,0	8,0587	0,5413	0,2930	0,7004	0,4906
3	7,4	6,0	114,0	6,6634	0,7366	0,5426	-0,1953	0,0381
4	4,4	7,0	54,0	4,3200	0,08	0,0064	0,6566	0,4311
5	5,6	7,0	82,0	4,9556	0,6444	0,4153	-0,5644	0,3185
6	4,2	8,0	78,0	3,8834	0,3166	0,1002	0,3278	0,1075
7	10,3	3,0	104,0	9,3806	0,9194	0,8453	-0,6028	0,3634
8	9,3	5,0	145,0	8,3485	0,9515	0,9054	-0,0321	0,0010
9	5,5	7,0	83,0	4,9783	0,5217	0,2722	0,4298	0,1847
10	8,4	4,0	84,0	7,9452	0,4548	0,2068	0,0669	0,0045
11	9,7	4,0	139,0	9,1937	0,5063	0,2563	-0,0515	0,0027
12	11,0	3,0	147,0	10,3567	0,6433	0,4138	-0,137	0,0188
13	10,4	3,0	132,0	10,0162	0,3838	0,1473	0,2595	0,0673
14	9,4	4,0	123,0	8,8305	0,5695	0,3243	-0,1857	0,0345
15	9,3	4,0	112,0	8,5808	0,7192	0,5172	-0,1497	0,0224
16	10,8	3,0	125,0	9,8573	0,9427	0,8887	-0,2235	0,0500
Сумма	133,3	77,0	1730,0	123,1272	10,1728	7,6767	0,2990	2,1350

0,2781

В исследуемой ситуации число наблюдений n =16, число независимых переменных m = 2. По условию уровень значимости α = 0,05. Согласно табличному значению критические точки d_H и d_В распределения Дарбина – Уотсона при уровне значимости α = 0,05 составляют: d_H = 0,982; d_В = 1,539.

В данном случае d < d_H < d_В

0,2781<0,982 < 1,539

Положительная автокорреляция.

2. Проверка регрессионной модели Z_t = γ₀ + γ₁t + ε.

_t = 209,8485 + 15,1643t.

Таблица 11

t	Zt		et
1	215	225,0128	-10,0128	100,2562	-	-
2	223	240,1771	-17,1771	295,0528	7,1643	51,3272
3	261	255,3414	5,6586	32,0198	-22,8357	521,4692
4	292	270,5057	21,4943	462,0049	-15,8357	250,7694
5	268	285,6700	-17,6700	312,2289	39,1643	1533,8424
6	345	300,8343	44,1657	1950,6091	-61,8357	3823,6538
7	296	315,9986	-19,9986	399,9440	64,1643	4117,0574
8	337	331,1629	5,8371	34,0717	-25,8357	667,4834
9	335	346,3272	-11,3272	128,3055	17,1643	294,6132
10	360	361,4915	-1,4915	2,2246	-9,8357	96,7410
11	408	376,6558	31,3442	982,4589	-32,8357	1078,1832
12	361	391,8201	-30,8201	949,8786	62,1643	3864,4002
Сумма	3701	3700,9974	0,0026	5649,0548	20,8073	16299,5403

2,8854.

В исследуемой задаче число наблюдений n =12, число независимых переменных m =1. По условию уровень значимости α = 0,05. Согласно табличному значению критические точки d_H и d_В распределения Дарбина – Уотсона при уровне значимости α = 0,05 составляют: d_H = 0,971; d_В = 1,331.

В данном случае:

d_H < d_В < < 4 - d_H

0,971 < 1,331 < 2,8854 < 3,029.

Автокорреляция отсутствует.

2. Проверка наличия или отсутствия мультиколлинеарности для регрессионной модели:

Y = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + ε.

а) С использованием коэффициента корреляции.

Таблица 12

i	xi1	xi12	xi2	xi22	xi2*xi2
1	5,0	25,0	119,0	14161,0	595
2	4,0	16,0	89,0	7921,0	356
3	6,0	36,0	114,0	12996,0	684
4	7,0	49,0	54,0	2916,0	378
5	7,0	49,0	82,0	6724,0	574
6	8,0	64,0	78,0	6084,0	624
7	3,0	9,0	104,0	10816,0	312
8	5,0	25,0	145,0	21025,0	725
9	7,0	49,0	83,0	6889,0	581
10	4,0	16,0	84,0	7056,0	336
11	4,0	16,0	139,0	19321,0	556
12	3,0	9,0	147,0	21609,0	441
13	3,0	9,0	132,0	17424,0	396
14	4,0	16,0	123,0	15129,0	492
15	4,0	16,0	112,0	12544,0	448
16	3,0	9,0	125,0	15625,0	375
Сумма	77,0	413,0	1730,0	198240,0	7873

=25,8125.

.

= 12390.

= 492,0625.

Выборочные дисперсии:

= 25,8125 – (4,8125)² = 2,6523.

=12390 – (108,1250)² = 698,9844.

Выборочные среднеквадратические (стандартные) отклонения:

= 1,6286.

= 26,4383.

Коэффициент парной корреляции между объясняющими переменными x₁ и x₂:

= - 0,6570.

Проверка значимости коэффициента парной корреляции.

где - квантиль распределения Стьюдента, (n – 2) – число степеней свободы.

Уровень значимости α = 0,05.

= =2,1448.

Коэффициент парной корреляции существенно отличается от нуля. Поэтому можно считать, что переменные x₁ и x₂ коррелируют между собой, существует мультиколлинеарность.

б) Матрица коэффициентов парной корреляции:

= 1- (-0,6570)² = 0,5684.

= -13,5*(-0,5649) = 7,6262.

Табличное значение для df = 1 и α = 0,05 равно 3,8415.

Неравенство [7,6262 < 3,8415] не выполняется. Следовательно, делаем вывод о существовании мультиколлинеарности.

Ответ.

1. Для регрессионной модели: с помощью критерия Дарбина – Уотсона на уровне значимости 0,05 выявлена положительная автокорреляция. Для регрессионной модели: _t = 209,8485 + 15,1643t с помощью критерия Дарбина – Уотсона на уровне значимости 0,05 выявлено отсутствие автокорреляции.

2. Для регрессионной модели:

а) с использованием коэффициента корреляции выявлено существование мультиколлинеарности;

б) с использованием критерия «хи-квадрат» χ² на уровне значимости 0,05 выявлено существование мультиколлинеарности.

Список использованных источников

1. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: ИНФРА-М, 1999.

2. Н.В.Воронович, Г.Л.Русин. Эконометрика: Методические указания по выполнению контрольных работы.- Новосибирск: НГУЭУ, 2005.

3. Семенов А.Т. Таблицы вероятностных распределений и квантилей: Учебное пособие. – Новосибирск: НГАЭиУ, 1998.