Приклад реалізації методу найменших квадратів на псевдокоді.

Нехай за допомогою зазначеного вище методу ми знайшли вигляд рівняння регресії

, отже .

Значення невідомих коефіцієнтів

.

Очевидно, що процедура, яка знайде розв’язки, буде простішою, якщо ми домовимося, що функції, що обчислюють відповідні суми, нами вже реалізовані:

//обчислення коефіцієнтів регресійної формули.

//X,Y – задані в умові масиви; a1,a0 – шукані коефіцієнти

//n – кількість заданих пар x,y в умові

Metod_Kvadr(n,X,Y,a1,a0):

1. a1:=(yixi(X,Y,n)-1/N)*yi(Y,n)*yi_na_1(X,n))/(yi_na_1_kw(X,n)-(1/n)*pow(yi_na_1(X,n),2));

2. a0:=(1./n)*(yi(Y,n)-a1*yi_na_1(X,n));

end

Питання і завдання до розділу 5

1. Постановка задач наближення функцій.

2. Метод найменших квадратів. Виведення нормальної системи методу найменших квадратів.

3. Обумовленість нормальної системи.

4. Вибір оптимального степеня апроксимуючого многочлена.

5. Поліноміальна інтерполяція. Многочлен у формі Лагранжа.

6. Многочлен у формі Ньютона.

7. Похибка інтерполяції.

8. Глобальна інтерполяція. Кусочно-поліноміальна інтерполяція. Вибір вузлів інтерполяції.

9. Інтерполяція із кратними вузлами.

10. Мінімізація оцінки похибки інтерполяції.

11. Інтерполяція сплайнами. Визначення сплайна. Лінійний сплайн.

12. Побудова кубічного сплайна.

13. Види граничних умов при побудові сплайнів.

14. обудова параболічного сплайна.

15. нтерполяція функції двох змінних.

16. Вивести нормальну систему методу найменших квадратів для визначення коефіцієнтів функції: a) ; b) .

17. Використовуючи метод найменших квадратів, апроксимувати на відрізку функцію многочленом першого степеня. Обчислити величину середньоквадратичного відхилення.

18. Побудувати інтерполяційний многочлен у формі Лагранжа й у формі Ньютона для функції , заданої таблицею значень.

    a)	x	-1	0	1	b)	x	1	2	4
    	y	3	2	5		y	3	4	6

19. Обчислити , знаючи значення та .

20. Побудувати кусково-лінійну інтерполяцію функції за вузлами –1, 0, 1.

21. Функція наближається на відрізку інтерполяційним многочленом за значеннями в точках . Оцінити похибку інтерполяції на цьому відрізку.

22. З яким постійним кроком h потрібно скласти таблицю функції на відрізку , щоб похибка лінійної інтерполяції не перевищувала ?

23. Для таблично заданих функцій

a)	x	-1	0	1	2	b)	x	1	2	4	5
	y	3	2	5	1		y	3	4	6	5

побудувати лінійний і параболічний сплайни.

24 Функція y=y(x) задана таблицею своїх значень:

x	-1	0	1	2
y	1.8	2.4	2.2	2

Побудувати многочлени нульового й першого степенів, що наближають функцію за методом найменших квадратів. Обчислити величину середньоквадратичного відхилення. Побудувати на одному кресленні точковий графік функції й графіки многочленів.

25 Побудувати інтерполяційні многочлени у формі Лагранжа й Ньютона, що наближають функцію y=y(x), задану таблицею своїх значень. Порівняти результати.

x	0	2	4
y	3	0	2

26 Функція у=y(x) задана таблицею своїх значень:

x	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1
y	0.75	1.1	1.35	1.25	1.05	0.8

Запропонувати способи інтерполяції для знаходження значень функції в точках x=0.24,0.5, 0.96.

27 Відновити многочлен за його значеннями:

	1	2	3
	2	8	16

28 Функція задана таблицею своїх значень:

	0	1	2	3
	1	2	4	8

Обчислити наближено значення функції в точці за допомогою інтерполяційного многочлена другого ступеня: а) у формі Лагранжа; б) у формі Ньютона (зі скінченними різницями). Оцінити похибку інтерполяції.

29 Функція задана таблицею своїх значень:

	0.6	0.8	1.0	1.2	1.4
	0.302	0.458	0.629	0.811	1.002

Обчислити приблизно значення функції в точці за допомогою інтерполяційного многочлена у формі Ньютона (з розділеними різницями). Обчислити похибку інтерполяції.

30 Функція задана таблицею своїх значень:

	0	1	2
	1	4	6

Побудувати природний інтерполяційний кубічний сплайн дефекту 1.

31 Відомо, що апроксимуюча функція має вигляд , де a й b – невідомі параметри. Використовуючи метод найменших квадратів, визначити a й b, якщо відомо таблицю значень функції:

	0.1	0.2	0.5
	10.22	5.14	2.76

32 Вивести систему рівнянь для визначення коефіцієнтів a й b функції , що здійснює середньоквадратичну апроксимацію таблично заданої функції y(x) в n+1 точках.

33 Функція наближається інтерполяційним многочленом за значеннями в точках x=0, , . Оцінити похибку інтерполяції на відрізку .

34 З яким кроком варто задати таблицю логарифмів на відрізку [1,10], щоб при квадратичній інтерполяції значення в проміжній точці відновлювалося з похибкою 0.001?

159