5.2 Iнтерполювання функції

Загальна постановка задачі інтерполювання така. Задані значення функції аргумента при відповідних його значеннях . Побудувати неперервну функцію , що належить до заданого класу функцій, таку, що вона збігається з при значеннях аргумента . Така функція називається інтерполюючою. Точки x_i, i=1,…,n називаються вузлами інтерполяції і вони утворюють сітку розбиття , а y_i - вузловими значеннями.

У такому формулюванні розв'язок задачі є невизначеним, бо крізь задані точки можна провести безліч кривих. Тому загальну постановку дещо звужують, задаючи не тільки клас інтерполюючої функції, але й додаткову умову мінімальної її складності.

Наприклад, для найбільш поширеного поліноміального інтерполювання (при якому інтерполююча функція обирається серед поліномів аргумента ), додатковою умовою є мінімальний порядок інтерполюючого полінома. З цього випливає, що якщо первісну функцію задано лише двома точками, її треба інтерполювати поліномом першого порядку (через дві задані точки проходить єдина пряма), якщо трьома - параболою другого порядку і так далі. Взагалі функція, задана своїми значеннями (у точках), інтерполюється однозначно поліномом -го порядку, тобто таким

. (5.1)

Тепер задача інтерполювання звелася до пошуку значень невідомих коефіцієнтів полінома (5.1) з умови набуття ним значень при значеннях аргумента .

Існують кілька способів визначення цих коефіцієнтів. Вони відрізняються методикою обчислень, зручною в одних і незручною в інших випадках. Але при ідеальних обчисленнях вони, природно, призводять до тих самих результатів, тобто до того самого полінома.

5.2.1 Інтерполювання за Лагранжем

За цією методикою попередньо визначають допоміжні поліноми -го порядку такі, що

. (5.2)

Тобто кожен із них набуває значення 1 тільки при , а для решти заданих значень аргумента він дорівнює нулю. Такі поліноми одержали назву лагранжевих коефіцієнтів, або множників впливу відповідних вузлів інтерполювання.

Щоб виконувалася перша умова (5.2), поліном повинен мати такий вигляд

, (5.3)

тобто добутку різниць між поточним значенням аргумента й одним із заданих, окрім -го, з деяким коефіцієнтом . Друга умова (5.2) дозволяє визначити цей коефіцієнт . Для цього в (5.3) слід покласти і прирівняти результат до одиниці. З цього матимемо

.

Враховуючи це, одержимо остаточний вигляд допоміжного полінома

.(5.4)

Тепер шуканий інтерполюючий поліном можна подати у вигляді

+ . (5.5)

Це і є інтерполяційний поліном Лагранжа степеня . Кількість арифметичних операцій для його обчислення дорівнює . Інтерполювання за Лагранжем зручно використовувати тоді, коли ведеться багаторазове інтерполювання різних функцій за однакових значень масиву аргументів. Тоді можна заздалегідь одноразово обчислити коефіцієнти Лагранжа, оскільки вони не залежать від функції, що інтерполюється.

Розглянемо деякі часткові випадки.

1 Лінійна інтерполяція

У цьому разі маємо два вузли інтерполяції. Інтерполяційний поліном Лагранжа має вигляд:

(5.6)