5.2.6 Інтерполяція за допомогою сплайнів

Підвищення точності інтерполювання вимагає збільшення вузлів інтерполяції. Це призведе до зростання степеня інтерполяційних многочленів. Але в умовах відсутності додаткової інформації про задану таблично функцію останні дають досить значну похибку. На практиці рідко проводять інтерполяцію поліномами степенів вище третього, тому що, по-перше, вони дають значні похибки й, по-друге, при нескінченному збільшенні порядку n інтерполяційного полінома Р_n(х) послідовність P_n не є збіжною (відповідно до теореми Фабера). Цей факт уперше виявив Рунге в 1901 р. В цьому випадку більш ефективним є використання сплайнів, що на проміжку між вузлами інтерполювання є поліномами невисокого степеня. На всьому проміжку інтерполяції сплайн - це функція, що склеєна з різних частин поліномів. Отже, розглянемо на відрізку систему вузлів . Сплайном називається функція, що визначена на , має на ньому неперервні похідні порядку і на кожному частковому відрізку збігається з деяким многочленом степеня не вище . При цьому хоча б на одному з відрізків степінь многочлена дорівнює . Якщо , маємо інтерполюючий сплайн. Визначити сплайн можна також так. Поліноміальним сплайном порядку m та дефекту k називається функція S_m,k(x) на сітці a=x₀<x₁<…<x_n-1<x_n=b така, що:

1) кожному проміжку ;

2. число k називається дефектом сплайна, якщо , 0<k<m;

3. розглянемо сплайн дефекту 1. S_m,1 = S_m. Інтерполяційним сплайном називається S_m(x), якщо S_m(x_i)=y_i, i = 0, 1, …, n.

Лінійний інтерполяційний сплайн

Нехай - розбиття відрізка : , - задані значення.

Сплайном першого степеня називається :неперервна на відрізку , лінійна на кожному частковому проміжку функція f(x). Його позначення S₁(x) . Нехай . Вираз для сплайна S₁(x) на цьому проміжку

(5.26)

y

*

*

*

*

*

*

*

O

Рис. – 5.1

Залишковий член такої інтерполяції .

Оцінка залишкового члена залежить від диференціальних властивостей функції f(x).

Нехай . Позначимо - коливання функції f(x) на проміжку . Тоді використовується лема.

Лема (варіант теореми про середнє).

Нехай . Якщо величини однакового знака, то існує точка така, що .

За допомогою цієї леми доводиться теорема про оцінку залишкового члена лінійного інтерполяційного сплайна.

Теорема. Якщо , то . Дійсно, , де . З наведеної вище леми маємо , де . Отже,

.

З поліпшенням гладкості функції f(x) оцінка похибки її інтерполяції лінійними сплайнами також поліпшується. А саме, якщо , то , де .

Для можна одержати оцінку .

Подальше збільшення гладкості функції f(x) не дає підвищення порядку апроксимації. Відбувається насичення алгоритму.

Збіжність

Нехай на задана послідовність сіток : ,k=1,2,3…, які задовольняють умову при . Для будується інтерполяційний сплайн . Інтерполяційний процес вважається збіжним, якщо при для будь-якої функції f(x) з деякого класу . Звідси випливає можливість інтерполяції з наперед заданою точністю

.

Перевага лінійних сплайнів у порівнянні з інтерполяційними многочленами полягає в тому, що з оцінки похибки випливає збіжність.

Нехай . За доведеною теоремою . За визначенням при , тому процес інтерполяції лінійними сплайнами збігається на множині неперервних функцій по довільній послідовності сіток .

Якщо , де k=1,2 , то похибка . Маємо збіжність інтерполяції порядку .