1.6. Виробнича функція Леонтьєва

Виробнича функція з постійними пропорціями факторів описує жорсткий виробничий процес, коли фактори споживання є ідеальними. Це означає, що в жорсткому технологічному процесі неможлива заміна одного фактора іншим фактором. При цьому дефіцит одного фактора не може бути компенсований за рахунок надлишку іншого фактора. Виробнича функція з постійними пропорціями факторів одержала назву функції Леонтьєва.

При побудові функції Леонтьєва передбачається, що виробнича система задовольняє властивостям лінійної однорідності. Отже, у разі системи виробництва, яка описується функцією Леонтьєва, при збільшенні фактора витрат у λ раз, фактор випуску продукту також зросте в λ раз. Тому функція Леонтьєва відноситься до важливого класу неокласичних функцій.

Жорсткість виробничого процесу задає постійну пропорцію між кількістю факторів, що його характеризують. Тому в разі жорсткого виробничого процесу задається кількість одиниць капіталу і кількість одиниць праці, які необхідно витратити для виробництва одиниці продукту.

Наприклад, розглянемо виробничу систему для виробництва одиниці продукту, в якій за період часу необхідно витратити 3 одиниці праці і 5 одиниць капіталу згідно з технологічними картами. При цьому обсяг виробництва має становити 6 одиниць продукту. Необхідно визначити витрати праці й капіталу.

Розв’язок буде таким: для виробництва 6 одиниць продукту необхідно витратити 3×6 = 18 одиниць праці й 5×6 = 30 одиниць капіталу.

Якщо необхідно обчислити, скільки продукту може виробити система при витратах 18 одиниць праці і 33 одиниць капіталу, тоді отримуємо, що витрати праці достатні для виробництва 18/3 = 6 одиниць продукту. Витрати капіталу дозволяють виробити 33/5 = 6,6 одиниць продукту. Проте для виробництва 6,6 продукту потрібно витратити 3×6,6 = 19,8 одиниць праці, незважаючи на те, що в наявності існує тільки 18 одиниць праці. Дефіцит ресурсу становить 1,8 одиниць праці, або ж є надлишок у 3 одиниці капіталу, які не можуть бути перетворені в продукт через дефіцит трудових ресурсів. Зрозуміло, що в даному випадку основним чинником, що обмежує виробничий процес через його жорсткість, є витрати праці, і система може виробити тільки 6 одиниць продукту. Величина продукту визначається фактором обмеженням через жорсткість технологічного процесу, який визначений мінімальною кількістю продукту, що може бути виготовлений з оптимально існуючої можливої кількості праці й капіталу.

Тому для випадку ідеальних факторів виробнича функція Леонтьєва матиме вигляд:

,

(1.32)

де а і b – постійні коефіцієнти, що мають додатні значення і визначають відповідно кількість одиниць капіталу і кількість одиниць праці необхідних для виробництва одиниці продукту;

K – фактор капіталу;

L – фактор витрат праці.

Функція Леонтьєва є граничним випадком лінійної однорідної виробничої функції типу CES з нульовою еластичністю заміщення праці капіталом.

Випадок випуску продукту в жорсткому виробничому процесі при зміні витрат праці й при фіксованих витратах капіталу представлений на рис. 1.10.

При збільшенні витрат праці L в діапазоні від 0 до 6 одиниць відбувається пропорційне збільшення випуску продукту Y. У цьому інтервалі фактором обмеження є витрати праці. При витратах 6 одиниць праці й 10 одиниць капіталу внесок праці та капіталу у створення продукту стає рівним (6/3 = 10/2). У загальному випадку точкою, що відсікає області значень, є L* = K×(а/b) = 10×3/5 = 6. У подальшому збільшення витрат праці L > 6 не приводить до збільшення випуску продукту, оскільки обмежуючим фактором стають витрати капіталу.

В області виробництва продукту, яке обмежується витратами праці (0<L<6 = K×(b/а) одиниць праці), середній і граничний продукти дорівнюють зворотній величині а, що характеризує кількість одиниць, праці необхідної для виробництва одиниці продукту:

AyL = MyL = 1/а.

(1.33)

У області (L≥6 = K×(b/а) одиниць праці), де виробництво визначається витратами капіталу. Середній продукт праці монотонно убуває. Граничний продукт праці переходить у нуль. У цій області додавання додаткової одиниці витрат праці не збільшує кількості виробленого продукту.

AyL =K/(а ×L), MyL =0.

(1.34)

Еластичність продукту по капіталу та праці для функції Леонтьєва дорівнює одиниці в області, що обмежується досліджуваним фактором (тим, що змінює значення), і дорівнює нулю в області, що обмежується додатковим фактором (тим, що зафіксований за значенням).

Збільшення витрат праці на один відсоток веде до зростання виробництва продукту на 1 відсоток в області (0<L<6 = K(b/а) одиниць праці) і не приводить до збільшення випуску продукту в області (L>6 = K (b/а) одиниць праці). Еластичність заміщення праці капіталом для виробничої функції Леонтьєва дорівнює нулю.

Практичне використання виробничої функції Леонтьєва є виправданим у дослідженнях невеликих жорстких економічних систем у процесах прийняття управлінських рішень щодо дослідження впливу факторів праці та капіталу на зміни обсягів виготовленого продукту.