1.2. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса.

Линейные операции над векторами, то есть сумма векторов и умножение вектора на число, позволяют составить линейную комбинацию векторов с числами , которая дает некоторый вектор :

Задача 1. Векторы а, , коллинеарны и имеют одинаковое направление, причем . Что можно сказать о векторах

1) , 2) , 3) ?

Решение. 1) Из условия задачи и из определения произведения вектора на число следует, что . Тогда искомый вектор равен

=

Он коллинеарен данным векторам и противоположно направлен, длина его совпадает с длиной вектора . Случаи 2,3 рассмотреть самостоятельно. 

Векторы линейно зависимы, если существуют такие числа , не все одновременно равные нулю (то есть числа, для которых выполняется условие ), что линейная комбинация данных векторов с этими числами дает нулевой вектор:

. (1.1)

Например, векторы а, , задачи 1 линейно зависимы, так как существуют такие числа , , с которыми линейная комбинация .

Для этих векторов можно указать и другие ненулевые наборы чисел, например, (проверьте!), с которыми удовлетворяется условие (1.1).

Векторы линейно независимы, если условие (1.1) выполняется только с равными нулю числами . Например, векторы задачи 1 предыдущего раздела линейно независимы, так как диагональ параллелограмма, построенного на "растянутых" векторах и , может равняться нулю лишь тогда, когда .

Для двух векторов необходимым и достаточным условием линейной зависимости является их коллинеарность. Для трех векторов необходимое и достаточное условие линейной зависимости – их компланарность. Произвольные четыре вектора всегда линейно зависимы.

Три линейно независимых вектора образуют в пространстве базис, если любой вектор можно представить в виде:

. (1.2)

Равенство (1.2) называют разложением вектора по базису , а числа  координатами вектора в этом базисе.

Для базисных векторов равенство (1.2) принимает вид:

Координаты каждого вектора в заданном базисе определяются однозначно. Если вектор равен нулю, то в разложении (1.2) все три числа равны нулю.

Базис в пространстве образует произвольная тройка некомпланарных векторов, базис на плоскости  произвольная пара неколлинеарных векторов, базис на прямой  произвольный ненулевой вектор.

Задача 2. Постройте разложение заданного вектора на два компланарных с ним слагаемых, если известны

1. направления каждого слагаемого,

2. направление и длина одного из слагаемых 

Если базисные векторы привести к общему началу в точке , то координаты вектора в базисе называют аффинными координатами точки . Частный случай аффинных координат – декартовы (прямоугольные) координаты. В декартовой системе координат базисные векторы обозначаются , они единичны и взаимно перпендикулярны (ортогональны). Направление ортов совпадает с направлением координатных осей соответственно. Декартовы координаты точки  это координаты радиуса-вектора точки ( координаты вектора ) в базисе .

Декартовы координаты вектора а обозначим , они равны проекциям этого вектора на координатные оси соответственно. Значит, = или .

Длина (модуль) вектора определяется формулой

. (1.3)

Определим проекцию вектора а на ось соотношением

(1.4)

Здесь  угол между вектором а и осью , . Заметим, что – число.

Проекция вектора на ось имеет линейные свойства, а именно:

,

Линейные свойства проекции вектора на ось может объяснить рис.5, где

, значит,

Рис.5

Если ввести  углы наклона вектора а к осям соответственно, то получим

, (1.5)

Числа называют направляющими косинусами вектора а. Из формул (1.3) и (1.5) следует, что

Например, вектор а с координатными осями может образовывать углы , так как .

Задача 3. Проверьте, может ли некоторый вектор образовывать с координатными осями углы .

Ответ. Не может. 

Если ненулевой вектор а разделить на его модуль, получим орт а° вектора а:

. (1.6)

В силу линейности проекции при сложении векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая его координата множится на это число.

Если в системе координат заданы две точки и , то вектор имеет координаты

(1.7)

Задача 4. В треугольнике известны одна из вершин и векторы . Найти координаты двух других вершин и координаты вектора .

Решение. Обозначим координаты точек и через и соответственно. По формуле (1.7) .

Итак, имеем вектор и координаты его начала , что позволяет определить координаты конца :

Получили . Аналогично находим координаты точки :

.

Остается найти вектор :

♦

Длина вектора равна расстоянию между точками и :

. (1.8)

Задача 5. Можно ли вписать окружность в четырехугольник с вершинами в точках

Решение. Напомним, что окружность можно вписать в четырехугольник тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны между собой. Вычислим

Получили 2+8=5+5, значит, в данный четырехугольник окружность вписать можно 

Задача 6. Даны векторы . Найти координаты векторов и . Определить длину вектора его орт.

Решение. Координаты вектора  это суммы соответствующих координат векторов а и , то есть . Модуль вектора найдем по формуле (1.3): . Осталось в соответствии с (1.6) найти орт вектора :

.

Вектор имеет координаты = , вектор , тогда вектор ={15,10,-7} 

Признаком коллинеарности векторов и является пропорциональность их координат:

(1.9)

Задача 7. Показать, что векторы и линейно зависимы.

Решение. Векторы и имеют пропорциональные координаты: , значит, они коллинеарны по признаку (1.9). А коллинеарность векторов является достаточным условием их линейной зависимости 

Задача 8. Заданы точки

Доказать, что векторы и коллинеарны.

Решение. Найдем сначала координаты векторов и по формуле (1.7): . Проверим их коллинеарность по признаку (1.9): . Значит, векторы и коллинеарны, . 

Задача 9. На плоскости заданы векторы . Найти разложение вектора по базису .

Решение. Сначала проверим, могут ли векторы образовывать базис. Координаты этих векторов непропорциональны: , то есть эта пара неколлинеарных векторов образует базис на плоскости.

По условию, разложение заданных векторов в декартовом базисе имеет вид

. Рис.6

Запишем разложение вектора по базису : .

Здесь числа  неизвестные координаты вектора в базисе . Подставим в это разложение декартовы представления векторов :

и сгруппируем относительно :

.

Поскольку координаты вектора в данном базисе определяются однозначно, из равенства двух векторов следует равенство соответствующих координат:

Рекомендуем решить эту систему по формулам Крамера (см. раздел 1.6).

Получили разложение вектора по базису : ( рис. 6). 

Задача 10. На плоскости заданы векторы . Определить разложение каждого из них, принимая за базис два другие.

О твет: . 

Точка делит отрезок в отношении , если . Из рис. 7 следует:

.

Отсюда получаем формулы деления отрезка в заданном отношении ,:

. (1.10) Рис.7

Если в (1.10) положить , получим формулы для определения координат середины отрезка:

. (1.11)

С помощью формул (1.10) можно найти центр масс системы материальных точек, предполагая, что центр масс двух точек и с массами соответственно и находится на отрезке и делит его в отношении : . Значит, по формулам (1.10) при : получаем координаты центра масс двух материальных точек:

. (1.12)

При необходимости прибавляется третья координата .

Задача 11. В точках и сосредоточенны массы 50кг и 100кг. Определить центр масс системы.

Решение. По формулам (1.12):

.

Координаты центра масс системы точек с массами соответственно вычисляются по формулам:

.

Задача 12. Однородная плита имеет форму квадрата со стороной 12. В плите сделан квадратный вырез, прямые разреза проходят через центр квадрата, координатные оси направлены по ребрам плиты (рис. 8). Определить координаты центра масс плиты.

Решение. Разрежем плиту по линии и найдем центры квадрата и прямоугольника , они находятся на пересечении диагоналей этих фигур в точках и . Запишем координаты вершин:

Рис.8

Точка делит диагонали квадрата пополам. По формулам (1.11) находим .

Для точки получаем .

Масса однородной плиты пропорциональна площади плиты и равна , где  плотность,  площадь. Значит, в точке сосредоточена масса , а в точке  масса . Центр масс плиты найдем по формулам (1.12):



Задачи

1. Даны вершины треугольника: , , . Разложить векторы, совпадающие с его сторонами, по основным ортам .

2. Найти длину вектора , если

; , .

3. Найти единичный вектор , параллельный вектору .

4. Зная, что векторы и коллинеарны, определить коэффициенты и .

5. Найти длину вектора и его направляющие косинусы.

6. Доказать, что - параллелограмм, если

, , .

7. Может ли некоторый ненулевой вектор образовывать с векторами углы, равные соответственно а) 120°, 135°,45°; б)120°, 135°, 60°?

8. Найти значения параметра , при которых вектор имеет длину, равную 5, и образует с вектором тупой угол.

9. При каких значениях параметра вектор

а) образует с вектором угол 90°; б) коллинеарен вектору .

10. Даны векторы , , . Определить разложение каждого из них, принимая за базис два другие

11. Даны вершины треугольника: , , . Записать векторы, идущие из вершин по медианам треугольника.