1.4. Векторное произведение.

Тройку некомпланарных векторов называем правой, если после сведения к общему началу эти векторы упорядочены, как большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы после сведения к общему началу упорядочены, как эти же пальцы левой руки, то тройку векторов называем левой. Всего из трех векторов можно составить шесть различных троек. Тройки имеют одинаковую ориентацию. Если они, например, правые, то тройки – левые, т.е. ориентированы противоположно.

Система координат называется правой или левой в зависимости от того, правой или левой является тройка базисных векторов. Привычная для нас декартова система координат  правая.

Векторным произведением векторов и называем вектор , удовлетворяющий трем условиям:

1) вектор ортогонален каждому из векторов и (то есть ортогонален плоскости, в которой находятся векторы и ),

2)

3) вектор направлен так, что тройка правая.

Здесь  угол между векторами , . Операцию векторного произведения обозначаем символом (или ). Например, для ортов имеем по определению (проверьте!) . Результаты векторного умножения для всех вариантов пар базисной тройки приведены в таблице:

			-
	-
		-

Понятие векторного произведения происходит из механики. Действительно, пусть на тело, закрепленное в точке , действует сила , приложенная в точке (рис.11). Под действием силы тело вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости, в которой находятся векторы и . Величина момента силы относительно точки равняется произведению модуля силы на плечо (расстояние от точки до линии действия силы ): . Если сила образует с вектором угол , то , т.к. . Вектор направлен по оси вращения так, что из его конца видим вращение против часовой стрелки, то есть тройка  правая. Поэтому

. (1.20)

Геометрические свойства векторного произведения:

1) Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

2) Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к обще- Рис.12 му началу векторах :

(1.21)

Введём орт векторного произведения (рис.12). Из (1.21) получаем:

(1.22)

Алгебраические свойства векторного произведения:

1) ,

2) ,

3) ,

4) для .

Обращаем внимание на то, что векторное произведение антикоммутативно (в отличие от скалярного произведения).

Пусть заданы декартовы координаты векторов :

.

Векторное произведение можно вычислить по формуле (попробуйте это доказать самостоятельно, опираясь на определение и свойства векторного произведения, а также на материал раздела (1.6)):

(1.23)

Раскрывая определитель в формуле (1.23) по элементам первой строки, получаем разложение вектора по базису :

Критерий колллинеарности векторов (то есть равенство нулю всех координат вектора ) приводит к знакомому признаку (1.9).

Задача 1. Вычислить , если .

Решение. С учетом алгебраических свойств векторного произведения получаем: = , так как . По формуле (1.23) находим

.

Итак, = . 

Задача 2. Сила приложена к точке . Вычислить момент этой силы относительно начала координат.

Решение. Момент силы относительно точки найдем по формуле (1.20): , где .

Осталось подставить координаты векторов и в формулу (1.23):

. 

Задача 3. Сила приложена к точке . Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

Ответ. . 

Задача 4. Три силы приложены к точке . Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки .

Решение. Найдем равнодействующую данных сил:

.

Момент силы относительно точки найдем по формуле (1.20}:

, где .

Вычислим , значит, .

Направляющие косинусы вектора находим по формуле (1.17):

, , . 

Задача 5. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках

.

Решение. Найдем координаты векторов и :

.

По свойству векторного произведения (1.21) площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна .

Вычислим

.

Найдем длину этого вектора:

Площадь треугольника равна . 

Задачи

1. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где и – единичные взаимно перпендикулярные векторы.

2. При каком значении коэффициента векторы и коллинеарны, если и не коллинеарны.?

3. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если , , , и .

4. Вычислить проекцию вектора на ось, имеющую направление вектора .

5. Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в точках , , .

6. Даны точки , , , . Найти векторное произведение векторов и . Коллинеарны ли эти векторы?

7. Сила приложена к точке . Вычислить

а) работу силы в случае, когда она перемещает материальную точку из в ;

б) момент силы относительно точки и его модуль.

8. Векторы и определены координатами своих концов: , , , . Найти

1) векторное произведение и его модуль;

2) направляющие косинусы векторного произведения .

9. Найти угол между векторами и , если они удовлетворяют соотношению .