Ускорение точки
Из предыдущего (п.1.2) следует, что вектор скорости точки в общем случае изменяется с течением времени как по величине, так и по направлению. Ускорение точки характеризует быстроту изменения величины и направления вектора скорости точки. Очевидно, что ускорение точки – величина векторная.
Определение ускорения при векторном способе задания движения.
Пусть
точка движется по траектории АВ.
В момент
времени t она
находится в
положении
М
и имеет скорость
,
а в момент времени t
+ Δt
она находится в положении М1
и имеет
скорость
1
(рис. 6). Найдем приращение вектора
скорости Δ
за промежуток времени Δt.
Для этого перенесем вектор
в точку М,
тогда Δ
=
-
.
Средним
ускоре-
нием точки за промежуток времени Δt называется отношение приращения вектора скорости Δ к этому промежутку времени Δt:
=
Δ
/
Δt. (1.16)
Направление этого вектора совпадает с направлением Δ .
Предел среднего ускорения при Δt→0 называется ускорением точки в момент времени t, или просто ускорением точки:
=
=
=
.
(1.17)
Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной по времени от радиус-вектора точки:
=
=
.
(1.18)
Здесь
учтено, что
=d
/dt
– формула
(1.7). Можно также пользоваться следующей
формой записи:
=
=
.
Определим направление вектора ускорения. Вектор лежит в плоскости, образуемой векторами и , проведенными из точки М (см. рис. 6). При уменьшении Δt точка М1 приближается к точке М, и плоскость ( , ) в соответствии с изменением направления , будет менять свое положение в пространстве, поворачиваясь вокруг вектора . В пределе при Δt→0 и М1→М векторы и определят плоскость, которая называется соприкасающейся плоскостью кривой (траектории) в точке М. Таким образом вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории (так как Δ направлено в сторону вогнутости).
Если кривая плоская, то соприкасающейся плоскостью является плоскость кривой и вектор ускорения лежит в этой плоскости.
Размерность ускорения L/T2, т.е. единицами измерения могут быть м/с2, см/c2.
Определение ускорения при координатном способе задания движения.
Пусть движение точки задано координатным способом, т.е. заданы ее уравнения движения:
x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t).
Радиус-вектор движущейся точки представим в виде
=
x
+ y
+z
.
Так как ускорение точки равно первой производной по времени от вектора скорости движущейся точки или второй производной от ее радиус-вектора, а орты , , постоянны, то:
=
=
=
+
+
=
+
+
.
Разлагаем ускорение на составляющие по осям координат:
=
ax
+ ay
+ az
.
Сопоставляя обе формулы, определяющие ускорение, получаем:
ax = = , ay = = , az = = . (1.19)
Таким образом, проекции вектора ускорения точки на оси декартовой системы координат равны первым производным по времени от проекций вектора скорости на соответствующие оси или вторым производным от соответствующих координат точки по времени.
Формулы (1.19) можно записать и в таком виде:
ax
=
=
,
ay
=
=
,
az
=
=
.
Вычислив проекции вектора ускорения на оси координат, находим модуль вектора ускорения:
|
|
=
=
=
,
(1.20)
и его направляющие косинусы:
cos(
,
)
=
, cos(
,
)
=
, cos(
,
)
=
.
(1.21)
Определение ускорения при естественном способе задания движения.
Предварительно
остановимся на некоторых геометрических
понятиях, изучаемых в дифференциальной
геометрии. Рассмотрим пространственную
кривую. В точке М
кривой проведем касательную М
τ (рис. 7). В
точке М1,
отстоя-
щей от точки М на расстоянии Δs, построим касательную М1 τ1. Из точки М
проведем
линию М
,
параллельную
М1
τ1.
Угол α
между линиями М
τ и
М
называется углом
смежности.
Кривизной
кривой k в
точке М
называется предел отношения угла
смежности α к приращению криволинейной
координаты Δs,
при стремлении Δs
к нулю, т. е.
k
=
.
(1.22)
Радиусом кривизны кривой ρ в точке М называют величину, обратную кривизне кривой в этой точке, т. е.
ρ
=
.
(1.23)
Заметим, что кривизна прямой рана нулю, а ее радиус кривизны равен бесконечности. Кривизна окружности во всех ее точках одинакова и равна обратной величине радиуса окружности (k = 1/R); радиус кривизны равен радиусу окружности (ρ = R).
При
естественном способе задания движения
точки векторы скорости
и ускорения
определяют по их проекциям не на оси
неподвижной системы отсчета Oxyz
(как это было показано выше . для
координатного способа задания движения),
а на подвижные оси Мτnb,
имеющие начало в точке М
и движущиеся вместе с нею (рис.8). Эти оси
называются естественными
осями координат
и вводятся следующим образом. Первой
естественной осью является касательная
Мτ. Ее положительное направление совпадает с направлением единичного вектора касательной , направленного в сторону возрастания криволинейной координаты s.
Перпендикулярно касательной Мτ располагается нормальная плоскость. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью Мn. Она является линией пересечения нормальной плоскости с соприкасающейся плоскостью. По главной нормали внутрь
вогнутости
кривой направим единичный вектор
.
Он определяет положительное направление
второй естественной оси. Плоскость,
проведенная через точку М
перпендикулярно главной нормали,
называется спрямляющей
плоскостью.
На рис.8 соприкасающаяся, нормальная и
спрямляющая плоскости обозначены
соответственно цифрами I,
II и III.
Нормаль,
перпендикулярная главной нормали,
называется бинормалью.
Она является линией пересечения
спрямляющей и нормальной плоскостей.
Единичный вектор
,
направленный по бинормали так, чтобы
три вектора
,
и
образовывали правую систему осей
координат , определит положительное
направление третьей естественной оси.
Три взаимно перпендикулярные оси Мτ, Мn и Мb, положительное направление которых совпадает с направлениями единичных векторов , , , называются естественными осями координат. Эти оси образуют в точке М естественный трехгранник. При движении точки М по кривой естественный трехгранник движется вместе с ней как твердое тело, поворачиваясь вокруг вершины, совпадающей с этой точкой М.
Рассмотрим теперь, как определяется ускорение при естественном способе задания движения точки.
Теорема. Ускорение точки равно векторной (геометрической) сумме касательного (тангенциального) и нормального ускорений.
ускорение
точки лежит в соприкасающейся плоскости
и раскладывается на две взаимно-перпендикулярные
составляющие, одна из которых, (
)
,
направлена по касательной к траектории
точки, а вторая, (
)
– по главной нормали к этой траектории.
Первая составляющая называется
касательным
или
тангенциальным
ускорением,
а вторая – нормальным
ускорением
точки. Составляющая же ускорения по
прямой, перпендикулярной соприкасающейся
плоскости, т. е. по бинормали к траектории
точки, очевидно, равна нулю (
= 0).
Касательное
ускорение обозначается через
:
=
=
.
(1.26)
Нормальное
ускорение обозначается через
:
=
.
(1.27)
Итак, ускорение точки при естественном способе задания движения определяется как сумма его касательной и нормальной составляющих:
= + , Модуль вектора ускорения равен
│
│
=
=
,
(1.29)
а его направление составляет с направлением главной нормали угол γ, тангенс которого равен
tgγ
=
(1.30)