5.2. Эквивалентные преобразования. Эквивалентные системы сил. Равнодействующая

Всякую систему сил стремятся, не нарушая состояния тела, упростить. Упрощение системы сил проводится в двух направлениях:

• в смысле изменения количества сил;

• в смысле изменения взаимного расположения сил.

Пусть к некоторому телу приложена система сил .

Определение. Последовательное применение элементарных операций статики к системе сил называется эквивалентным преобразованием этой системы.

Примеры эквивалентных преобразований:

• перенос силы по ее линии действия;

• замена сходящейся системы сил одной силой, приложенной в точке схода и изображаемой главным вектором этой системы сил.

Определение. Две системы сил называются эквивалентными (статически равносильными), если от одной к другой можно перейти с помощью элементарных операций, то есть при помощи эквивалентного преобразования.

Обозначать эквивалентность будем следующим образом:

,

или короче .

Свойства эквивалентности:

• если , то ( для первой элементарной операции есть обратная – вторая, а для третьей – четвертая;

• если и , то .

Определение. Если система сил эквивалентна одной силе , то эта одна сила называется равнодействующей данной системы сил.

Покажем, что равнодействующая по величине и направлению измеряется главным вектором системы сил. Пусть , – равнодействующая. В силу второго свойства элементарных операций главные векторы систем сил и равны: . Но , следовательно, , то есть равнодействующая параллельна главному вектору, имеет то же направление и величину.

Однако равнодействующая и главный вектор понятия различные, их не следует смешивать. Главный вектор – математическое понятие, а равнодействующая – физическое. Главный вектор – это свободный вектор, а равнодействующая – скользящий; равнодействующая – это сила, связанная со своей линией действия. Главный вектор можно построить всегда (он существует у всякой системы сил), а равнодействующая не всегда существует (не всегда существует одна сила, эквивалентная данной системе сил). Особенно отчетливо сказывается разница между понятиями главного вектора и равнодействующей системы сил, когда система сил приложена к разным телам. В этом случае понятие равнодействующей не имеет никакого определенного смысла, а главный вектор такой системы можно построить.

5.3. Обобщенная теорема Вариньона

Теорема. Если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно некоторого полюса равен геометрической сумме моментов всех сил системы относительно того же полюса.

Теорема. Если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно некоторой оси равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно той же оси.

6. Условия равновесия. Условия равновесия в общем и частных случаях

6.1. Основная лемма статики

Леммой называют теорему, необходимую только для доказательства другой теоремы.

Лемма. Любая система сил эквивалентна системе из двух сил, то есть любая система сил с помощью элементарных операций может быть приведена к двум силам.

Доказательство.

Предварительно докажем лемму для трех сил , , .

Проведем две плоскости (рис. 26); одну через силу и точку , вторую через силу и ту же точку .

Эти плоскости, имея общую точку , имеют общую прямую. На этой прямой выберем произвольную точку и соединим точки и прямыми с точками и , в которых приложены силы и . Разложим силы и на составляющие по проведенным направлениям: ,

. Перенесем силы и по их линиям действия в точку , а силы и в точку (рис. 27). В результате получим две системы сходящихся сил:{ } и { .

З аменяем силы и , приложенные в точке , их геометрической суммой , приложенной в той же точке: , а силы , приложенные в точке – силой , приложенной так же в точке . В результате применения только элементарных операций система сил { } приведена к двум силам { }. Итак, заданная система сил { } эквивалентна двум силам { }:

{ }~{ },

что и требовалось доказать.

Если задана система, состоящая из сил, то тогда, последовательно заменяя каждые три силы двумя, уменьшаем число сил системы. Процесс заканчивается, когда остается только три силы.

{ } — сил

{ } —сил

{ } —сил

…… …

{ } —силы