8.5. Косые скачки уплотнения

Образование косых скачков уплотнения можно проследить на простейшем примере обтекания стенки АОВ, повернутой в точке О на некоторый конечный угол θ навстречу невозмущен­ному потоку (рис. 8.17). Поток движется параллельно стенке АО со скоростью V₁ затем на косом скачке отклоняется на угол θ и приобретает новую скорость V, направленную параллельно стенке 0В.

П редположим, что фронт косого скачка уплотнения образу­ет угол β с направлением невозмущенного потока. Для определе­ния параметров газа за косым скачком обозначим их до скачка через ₁, V₁, р₁ , T₁, а после скачка -- через ρ, V, p, T. Скорости течения газа до и после скачка представим в виде составляющих, нормальных к фронту скачка V_1n, V_n и касательных V_1t, V_t: ; .

Рис. 8.17. К расчету косого скачка уплотнения.

Для решения основной задачи о косом скачке воспользуемся условиями динамической совместимости двух течений, разде­ленных поверхностью скачка.

1. Уравнение секундного изменения количества движения газа на единичной площадке скачка в направлении, перпендику­лярном к его фронту p – p₁= ₁V_ln(V_ln – V_n). (8.22)

В проекции на плоскость скачка аналогичное уравнение ₁V_1n(V_1t – V_t) = 0, так как давление вдоль поверхности скачка остается постоян­ным. Следовательно, касательные составляющие скоростей до и после скачка равны между собой, т. е. V_1t = V_t (8.24)

а разрыв претерпевают только нормальные составляющие ско­рости.

2. Уравнение сохранения энергии единицы массы газа при переходе через скачок при отсутствии теплообмена и трения . (8.25)

3. Уравнение неразрывности (уравнение сохранения массы) ₁V_1n = V_n

Такой вид уравнения неразрывности объясняется тем, что массовый расход газа через плоскость скачка определяется не значением полной скорости V₁ (или V), а только ее нормальной составляющей.

4. Уравнение состояния p = RT.

Для установления связи между нормальными составляющи­ми скоростей до и после скачка преобразуем уравнение количе­ства движения (8.22), используя уравнение неразрывности (8.26): .

Подставляя в это равенство значения отношений давления к плотности, полученные из уравнения энергии (8.25) , и учитывая, что V²=V_n²+V_t² и V₁² = V²_1n + V_t², получим урав­нение , (8.27)

первое слагаемое правой части которого согласно (7.8) равно квадрату критической скорости, окончательно . (8. 28)

В случае прямого скачка V_t = 0 и из выражения (8.28) по­лучается формула (8.6). Равенство (8.28) подтверждает, что на косом скачке уплотнения разрыв претерпевает только нормаль­ная составляющая скорости, а касательная составляющая оста­ется неизменной. Следовательно, после прохождения косого скачка поток может остаться сверхзвуковым.

Для косого скачка можно записать соотношение (см. рис. 8.17) V_1n = V₁ sin β. Заменяя в зависимостях (8.9), (8.10), (8.11) для прямого скачка уплотнения число М₁ числом , найденным по нормальной составляющей скорости, получим соотношение для определения плотности, давления и температуры за косым скачком:

; (8. 29)

; (8. 30)

. (8.31)

Исключив величину M₁ sin β из соотношений (8.29) и (8.30), можно получить адиабату Гюгонио (8.12), т. е. уравнение удар­ной адиабаты для косого скачка уплотнения точно такое же, как и для прямого скачка.