8.6. Связь между положением фронта

КОСОГО СКАЧКА И УГЛОМ ПОВОРОТА СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА

У гол наклона скачка уплотнения можно определить графи­ческим способом, если известны величины и направления ско­ростей потока до и после косого скачка.

Рис. 8.18. Определение направления косого скачка

Так как касательные к фронту скачка составляющие скорос­тей потока перед и за скачком равны между собой V_1t = V_t, то прямая, соединяющая концы векторов скоростей V₁ и V, должна быть перпендикулярна к плоскости косого скачка уплотнения.

Поэтому, если от точки О (рис. 8.18) провести вектор по оси OX, а – под углом θ κ , то направление косого скачка мож­но найти, соединив прямой линией концы векторов и опустив на эту прямую перпендикуляр из точки О. Этот перпендикуляр и будет в плоскости течения следом косого скачка уплотнения под углом β.

Установим связь между углами θ и β. Из рис. 8.18 следует, что tg( – ) = V_n/V или с учетом (8.28) Из рис. 8.17 следует, что V_1n = V₁ sin , V_t = V₁ cos . (8.32)

Тогда (8. 33) Разделив знаменатель и числитель на а₁² и заменив V₁/a₁ на M₁, получим (8.34)

Используя соотношение (7.8), можно написать Подставляя в последнее выражение значения отношений темпе­ратур из формул (7.3) и (7.10), получим

С учетом этого выражения формулу(8.34)можно записать в виде или (8.35).

В оспользовавшись известной из тригонометрии формулой и решая после подстановки уравнение относительно tg  получим (8.36).

По этой формуле построены кривые зависимости β = f(θ) (рис. 8.19). Угол поворота θ может быть равен нулю в двух слу­чаях:

1) т. е., когда

Рис 8.19 Зависимость между углами  и β при различных значениях числа M₁

или (8.37) В этом случае скачок вырождается в волну слабых возмуще­ний. Из соотношения (8.29) сле­дует, что при Μ₁ sinβ = 1 будет V_1n=V_n, т. е. величина и направле­ние скорости не изменяются;

2) ctg  = 0 или β = π/2. В этом случае фронт ударной волны пер­пендикулярен течению, т.е. име­ет место прямой скачок уплотне­ния.

Анализ графиков, приведен­ных на рис. 8.19, позволяет сде­лать следующие два заключения:

1. Для каждого числа M₁ су­ществует максимальное значение угла , на который может повернуться сверхзвуковой поток, пройдя через фронт косого скачка.

2. При фиксированных значениях числа Μ₁ и угла поворота θ возможны два положения фронта скачка, характеризуемые двумя углами β. Однако, как показывают опыты, большие зна­чения углов β не реализуются на практике при обтекании за­остренных тел с присоединенным скачком уплотнения в плоско­параллельном потоке (см. пунктирные участки кривых на рис. 8.19).

8.8. Изменение давления при отклонении

СВЕРХЗВУКОВОГО ПОТОКА НА МАЛЫЕ УГЛЫ

Для решения многих задач газовой динамики необходимо определить изменение давления при отклонении сверхзвукового потока на небольшой угол, например, при обтекании внешнего или внутреннего тупого угла.

Рис. 8.24. К определению измене­ния давления при отклонении сверхзвукового потока на малые углы

Р ассмотрим обтекание внутреннего тупого угла (рис. 8.24). Касательную и нормальную составляющие скорости можно оп­ределить из геометрических построений: V_t = V₁ cos  = V cos ( – ), V_1n = V₁ sin , V_n = V sin ( – ). (8.44) С учетом этих выражений величину изменения давления на скачке можно определить из уравнения количества движения (8.22):

или (8.45) Эта формула справедлива для всех случаев, когда поверх­ность скачка плоская. При малых значениях углов θ можно поло­жить sin θ ­≈ θ и cos (β – θ) ≈ cos β. В этом случае согласно (8.37) . Тогда формула для определения изменения давления при отклонении потока на малый угол принимает вид (8.46) откуда находим коэффициент давления При , близком к нулю, ударная волна вырождается в звуковую, поэтому можно по­лагать, что зависимость (8.47) останется справедливой и при малых отрицательных значени­ях , т. е. при обтекании внеш­него тупого угла. Таким образом, при повороте потока на малый угол θ изме­нение давления пропорционально величине динамического дав­ления невозмущенного потока, углу поворота потока и обратно пропорционально . Заметим, что если угол θ > 0 (поджатие), давление после поворота повышается (Δp > 0), а если угол θ < 0 (расширение), то давление после поворота уменьшается (Δp < 0). Выражения (8.46) или (8.47) используются при определении аэродинамических характеристик профилей в сверхзвуковом потоке.

Вопросы для повторения

1. Что является причиной возникновения скачка уплотнения при сверхзвуковом обтекании тела?

2. В каких случаях образуется отсоединенный скачок уплот­нения?

3. Напишите основные соотношения для прямого и косого скачков уплотнения.

4. Как связана форма головного скачка уплотнения с формой головной части тела (качественно)?

5. В чем отличие обычного адиабатического процесса сжатия от процесса сжатия на скачке?

6. Изобразите график ударной поляры и для какого-либо слу­чая укажите скорость, возникающую за косым скачком уплот­нения.

Задачи

1. Определить скорость невозмущенного потока, если угол слабых возмущений равен π/6, а тело движется на высоте Н = 18000 м.

Ответ: V = 590 м/с.

2. Найти скорость воздуха за прямым скачком уп­лотнения при полете со скоростью V = 640 м/с на высотах H = 2000 и 15000 м.

Ответ: V_H=2000 = 250 м/с; V_H=15000 = 221 м/с.

3. Самолет летит на высоте 5000 м со скоростью 1500 км/ч относительно земли. Какова скорость самолета относительно ча­стиц воздуха, по которым только что прошла прямая ударная волна, вызванная носовой частью фюзеляжа?

Ответ: V=276 м/с.

1