Задача 5. Вычисление индивидуальных и агрегатных индексов

Рассчитать индивидуальные и агрегатные индексы о совершении различных нотариальных дел и обложения их пошлинами по данным, приведенным в табл. .

Таблица 8

Вид дела	июнь		июль
	Пошлина за одно дело, руб.,	Количество, дел,		Пошлина за одно дело, руб.,	Количество, дел,
А	4	3800		4,52	4500
В	24	200		25,92	500

Решение

1. Определяем индивидуальные индексы пошлин:

- дел А ;

- дел В .

То есть в отчетном периоде (в июле) пошлина за дело типа А возросла в 1,13, что составило 113% или увеличилось на 13%, а за дело типа В — в 1,08 раза, что составило 108% или увеличилось на 8%.

2. Определяем индивидуальные индексы количества дел:

- дел А ;

- дел В .

То есть число дел типа А увеличилось 1,18 раза, что составило 118% или увеличилось на 18%, а дел типа В — увеличилось в 2,50 раза, что составило 250% или возросло на 150%.

3. Определяем индивидуальных индексы дохода от выполнения нотариальных дел:

- дел А ;

- дел В .

То есть доход от выполнения нотариальных дел возросла в 1,333 раза, что составляет 133,3% или возрос на 33,3%, а нотариальных дел типа В — в 2,70 раза, что составляет 270% или возросло на 170%.

2. Агрегатный индекс дохода от нотариальных дел равен

,

то есть товарооборот увеличился в 1,665 раза, что составило 166,5% или увеличилось на 66,5%.

2. Агрегатный индекс повышения цен увеличится в раз

,

то есть товарооборот увеличился за счет повышения цен в 1,11 раза, что составило 111% или увеличилась на 11%.

3. Агрегатный индекс количества дел увеличился в раз

,

то есть товарооборот увеличился за счет увеличения объема продаж в 1,5 раза, что составило 150% или увеличилась на 50%.

4. Проверяем достоверность вычислений:

- используя первое свойство индексов, получаем:

.

- используя второе свойство индексов, получаем:

Итак, доход от нотариальных дел в отчетном периоде по сравнению с базовым периодом увеличился в 1,665 раза или в денежном выражении на 13300 руб.

В том числе, за счет повышения пошлин в 1,11 раза или в денежном выражении на 3000 руб. и за счет увеличения количества дел в 1,5 раза или в денежном выражении на 10000 руб.

Задача 6. Определение уравнения линейной регрессии

Установить линейную регрессионную зависимость количества зарегистрированных дорожно-транспортных происшествий ( в зависимости от возраста водителя ( по данным статистической совокупности, приведенным в табл. .

Таблица 9

Возраст водителя,	35	40	60	45	76	58
Число ДТП,	10	13	20	15	24	18

Требуется:

1. Определить уравнение линейной регрессии.

2.Оценить силу (тесноту) связи между возрастом и количеством ДТП.

3. Построить график распределения ДТП

Решение

1. Определяем коэффициенты линейного уравнения регрессии:

используя систему нормальных уравнений метода наименьших квадратов:

.

1.1. Предварительно определяем суммы, входящие в эти уравнения. Расчет их производим в вычислительной программе, приведенной в табл. .

Исходные данные вводит во второй и третий столбцы таблицы, выделенные серым цветом. Далее заполняем 4-6 столбцы, чтобы определить искомые суммы. В столбцах 7-9 вычисляют величины, которые дают наглядное представление о точности вычисления числа ДТП в зависимости от возраста водителя. В нижней строке этой таблицы приводятся средние значения соответствующих величин, которые получают путем деления итоговых сумм на число наблюдений

Таблица 10

№№ п/п	Возраст водителя, , лет	Число ДТП , %				Расчетное число ДТП	Отклонение
							Абсолютное	Относительное
1	35	10	1225	350	100	10,98	-0,98	9,80
2	40	13	1600	520	169	12,62	0,38	2,92
3	60	20	3600	1200	400	19,18	0, 8 2	4,10
4	45	15	2025	675	25	14,26	0,74	4,93
5	76	24	5776	1824	576	24,43	-0,43	1,79
6	58	18	3364	1044	324	18,52	-0,52	2.89
Итого	314	100	17590	5613	1794	99,99	0,01	26,49
Среднее	52,3	16,67	2932	935,5	299	-	-	4,42

1.2. Для расчета коэффициентов линейного регрессионного уравнения, используют нормальные уравнения метода наименьших квадратов:

Итак, уравнение регрессии имеет вид:

.

Коэффициент регрессии показывает, что увеличение возраста водителя на 1 год, ведет к увеличению числа ДТП на 0,328 единиц (в данном случае на 0,328%, так как ДТП выражено в %).

1.3. Далее вычисляем количество ДТП в зависимости от возраста водителя по этой формуле, отклонения и величину его в процентах, которые указаны в трех последних столбцах табл. .

Проверка показывает, что отклонение в среднем не превышает 4,42%, что существенно ниже допустимой величины, равной 10%, следовательно, полученное уравнение статистически значимо и может использоваться при статистических вычислениях и для прогнозирования.

П олученное решение иллюстрирует график, показанный на рис 4.

График построен с использованием редактора диаграмм Microsoft Graph, который является стандартной программой ППП Microsoft Word Office.

Обратите внимание, что на графике указано линейное уравнений, которое, рассчитывает компьютер по исходным данным табл. и подтверждает, что выполненный расчет верен. Несущественное расхождение в значениях коэффициентов уравнения объясняется округлениями.

1.4. Анализируя результаты вычислений радо иметь в виду, что, полученное решение, справедливо только для интервала 35-76 лет. Поведение линии за пределами этого интервала к решению задачи не имеет никакого отношения.

Любое уравнение регрессии справедливо только для того интервала изменения независимой переменной, которое было зафиксировано в исходной статистической совокупности для конкретного места и времени.

1.5. Оценка силы (тесноты) корреляционной связи

После установления корреляционной зависимости между переменными и решают вторую проблему корреляционного анализа, которая состоит в выяснении силы (тесноты) этой связи, иными словами в оценке степени близости корреляционной связи к функциональной зависимости.

В случае парной линейной корреляционной зависимости критерием тесноты связи служит коэффициент корреляции, определяемый по формуле:

где , - средние квадратическое отклонения переменных и соответственно.

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1 .

Связь между переменными считают тесной, если ; средней, если и слабой , если .

Далее вычисляют коэффициент детерминации , который показывает, какую часть отклонений фактических значений результативного признака от расчетных величин его объясняет полученное уравнение регрессии. Коэффициент детерминации вычисляют по формуле .

Коэффициент детерминации изменяется в пределах от 0 до 1, что очевидно из формулы определения и физической сущности его.

В условиях данного примера линейный коэффициент корреляции равен:

Коэффициент детерминации равен:

Полученное значение почти равно 1, следовательно, количество ДТП практически пропорционально возрасту, но это верно только для возрастного интервала 35-76 лет, в пределах которого проводилось исследование.

Коэффициент детерминации показывает, что созданная линейная модель (уравнение регрессии) ДТП объясняет их вариацию на 99,4%.