7. Атомная и ядерная физика Основные формулы

Энергия фотона

, или ,

где h - постоянная Планка; ; ν - частота света; ω = 2πν - круговая частота; λ - длина волны; c – скорость света в вакууме.

Масса m и модуль импульса p фотона выражаются, соответственно, формулами

; .

Формула де Бройля, выражающая связь длины волны с модулем импульса р движущейся частицы, для двух случаев такова:

а) в классическом приближении при v << с модуль импульса частицы р=m_ov (m_o – масса покоя частицы) и

;

б) в релятивистском случае скорость частицы сравнима со скоростью света в вакууме, модуль импульса частицы

и .

Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией Т частицы:

а) в классическом приближении ;

б) в релятивистском случае ,

где Е_o - энергия покоя частицы (Е_o=m_oc²).

Модуль момента импульса электрона на стационарных орбитах­

L = mvr = nħ (n = 1, 2, 3,…),

где m - масса электрона; r - радиус орбиты; v - скорость электрона на орбите; n - главное квантовое число; ; h - постоянная Планка.

Радиус n-ой стационарной орбиты электрона в атоме водорода:

,

где - электрическая постоянная; m и e - масса и заряд электрона.

Энергия фотона, излучаемого или поглощаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое, ­

,

где ν - частота электромагнитного излучения; и - значения энергии атома в стационарных состояниях с главными квантовыми числами, соответственно, n₂ и n₁, или

,

где - энергия ионизации атома водорода.

Энергия электрона, находящегося на n-й орбите, ­

.

Сериальная формула, определяющая длину волны света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую, ­–

,

где - постоянная Ридберга ( = 1,10∙10⁷ м^-1).

Волновые свойства микрочастиц

Формулы де Бройля для энергия движущейся частицы E и ее импульса p:

_{E=hν и p = ħk,}

где k - волновой вектор, модуль которого |k|=k=2π/λ; , h - постоянная Планка ; ν и λ , соответственно, частота и длина волны де Бройля, сопутствующей частицы.

Соотношения неопределенностей Гейзенберга для координат и проекций импульсов микрочастицы:

т.е. произведение неопределенности координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше постоянной Планка.

Соотношение неопределенностей энергии микрочастицы и ее времени пребывания в некотором состоянии:

.

Одномерное временное уравнение Шредингера для свободно движущейся частицы:

,

где i - мнимая единица ( ); m - масса частицы; Ψ(х, t) - волновая функция, описывающая состояние частицы.

Волновая функция, описывающая одномерное движение свободной частицы,­

,

где А - амплитуда волны де Бройля; р - импульс частицы; Е - энергия частицы.

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний­, независящих от времени,

,

где Е - полная энергия частицы; U(x) - потенциальная энергия частицы; ­ - координатная (или амплитудная) часть волновой функции.

При движении частицы в трехмерном пространстве уравнение Шредингера для стационарных состояний записывается в виде

,

где ; ; .

В операторной форме

,

где - оператор Лапласа.

При решении уравнения Шредингера следует иметь в виду стандартные условия, которым должна удовлетворять волновая функция: ее конечность во всем пространстве, однозначность, непрерывность самой ψ-функции и ее первой производной.

Вероятность dW обнаружить частицу в интервале от х до x+dx (в одномерном случае) выражается формулой

dW = |ψ(x)|²dx,

где |ψ(x)|² - плотность вероятности.

Вероятность W обнаружить частицу в интервале от х₁ до х₂ находится интегрированием dW в указанных пределах:

.

Потенциальная энергия электрона в атоме водорода (или в водородоподобном ионе)

,

где Z - зарядовое число ядра; е - элементарный заряд; ε₀ – электрическая постоянная.

Собственное значение полной механической энергии Е_n электрона в атоме водорода­ (или в водородоподобном ионе)

,

где h - постоянная Планка; m – масса электрона; n - главное квантовое число (n = 1, 2, 3,...).

Волновая функция, описывающая состояние электрона в атоме водорода в сферической системе координат,

,

где n, , - квантовые числа: главное, орбитальное, магнитное; r – модуль радиуса-вектора электрона, - полярный угол, φ – азимутальный угол.

Вероятность dW того, что электрон находится в объеме dV в окрестности точки с координатами (r, , φ)

,

где .

В s-состоянии (ℓ=0, =0) волновая функция электрона сферически симметрична, т.е. не зависит от углов и φ.

Модули орбитального момента импульса и магнитного момента электрона, соответственно, равны

,

где - орбитальное квантовое число, которое может принимать значения 0, 1, 2, 3, ..., n–1; μ_В - магнетон Бора .

Проекции орбитального момента импульса и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля, совпадающее с осью Z,

,

где магнитное квантовое число = 0, ±1, ±2, ±3, …, ± _.

Правила отбора, ограничивающие число возможных переходов электронов в атоме при испускании и поглощении фотонов:

1. изменение орбитального квантового числа Δℓ удовлетворяет условию

Δℓ = ±1;

2) изменение магнитного квантового числа Δ удовлетворяет условию

Δ = 0, ±1.