Глава 3. Решение некоторых задач
Задача №1
Если
непрерывная функция, заданная на
,
то множество точек, в которых
,
при любом c
замкнуто.
Доказательство
Допустим противное.
Пусть
такое, что
- незамкнуто. Значит
-
предельная точка множества
и
,
т.е.
.
-
непрерывная функция на
,
значит
Рис. 3
Рассмотрим
тогда
,
т.е.
(рис. 3). (*)
Т.к. - предельная точка , то любой интервал, содержащий точку , содержит хоть одну точку множества , отличную от , т.е.
,
.
(**)
Из (*) и (**) получаем противоречие.
Значит
,
множества
- замкнуты.
Утверждение доказано.
Замечание.
Аналогичным образом можно доказать,
что, если
непрерывная функция, заданная на
,
то множество точек, в которых
,
при любом
замкнуто.
Задача №2
Если
функция
,
заданная на
,
такова, что множества
и
при любом
замкнуты, то
-
непрерывна.
Доказательство
Допустим противное.
Пусть
- разрывная функция на
,
т.е.
,
т.е.
.
Рассмотрим множество
=
.
-
замкнуты
по
условию задачи,
следовательно
- замкнуто.
Пусть
,
выберем последовательность точек
следующим образом
,
;
,
;
,
;
…
,
(рис. 4).
(Если
,
то рассматриваем окрестности
,
)
Рис. 4
Предположим,
что этот процесс проведен для всех
натуральных
,
тогда получаем последовательность
точек множества
:
,
,…,
…,
при этом
.
Значит
-
предельная точка множества
.
Множество
- замкнуто, значит
,
следовательно
,
что невозможно. Значит
непрерывная функция.
Утверждение доказано.
Задача №3
Доказать, что множество внутренних точек любого множества открыто.
Доказательство
Пусть - некоторое множество, - множество всех внутренних точек А.
Выберем
произвольно точку
,
тогда
I
– интервал,
.
Так
как любая точка
интервала
содержится в А вместе с данным интервалом,
то каждая точка интервала I
является внутренней точкой множества
А, т.е.
,
,
следовательно
.
Получаем
,
I
– интервал,
,
следовательно множество В – открыто.
Утверждение доказано.
Задача №4
Доказать, что множество точек , десятичное разложение которых возможно без помощи цифры 7, совершенно.
Доказательство
Разделим
отрезок
на 10 равных частей точками
,
,
,
,
,
,
,
и
.
И удалим из него «восьмой по счету»
интервал
.
Каждый
из 9 оставшихся отрезков
,
,
,
,
,
,
,
и
разделим на 10 равных частей и удалим
«восьмые по счету» интервалы
,
,
,
,
,
,
,
и так далее, продолжаем это процесс неограниченно (рис. 5).
множество теорема мощность счетный
0
1
0
1
Рис. 5
В результате из окажется удаленным открытое множество , являющееся суммой счетного множества интервалов
+
+
+
+
+
+
+
+
…
Оставшееся
множество
оказывается совершенным по теореме 7
(стр. 42). Рассмотрим разложение в
десятичную дробь. Выясним, какие точки
попадают в первый из удаленных интервалов
.
При разложении каждой из этих точек в
десятичную дробь
,
необходимо окажется
.
Концы же этого интервала допускают каждый по два представления
;
.
Все остальные точки отрезка при разложении в десятичную дробь не могут иметь на первом месте после запятой цифру семь.
Итак, на первом шагу процесса построения множества из отрезка удаляются те и только те точки, первый десятичный знак которых семь.
Аналогично, можно установить, что на втором шагу удаляются те и только те точки, второй десятичный знак которых семь, и т.д.
Поэтому
после окончания процесса останутся
неудаленными те и только те точки,
которые могут быть изображены десятичной
дробью
,
в которой ни одно из
не равно семи. Таким образом, множество
состоит из точек, троичное разложение
которых невозможно без помощи семи, а
- из точек, для которых такое разложение
возможно.
Задача №5
Найти ошибку в следующем доказательстве теоремы:
Каждое замкнутое множество есть пересечение счетного множества открытых множеств.
Доказательство
Пусть
- некоторое замкнутое множество.
Рассмотрим дополнение
множества
.
Множество
- открыто, следовательно, представимо
в форме суммы конечного числа или
счетного множества взаимно не налегающих
интервалов, концы которых не принадлежат
,
при этом, если
- неограниченно, то среди этих интервалов
возможно есть интервал (или интервалы),
одним концом которого является
бесконечность (т.е. интервалы вида
или (
)
(рис. 6).
Рис. 6
Обозначим
полученные интервалы через
,
где
,
тогда
Пусть
где
.
Заметим, что концами
и
данных интервалов возможно являются
не только действительные числа, но
и
.
В
каждом интервале
,
где
произвольно выберем две точки
(
),
В
каждом интервале вида
или
произвольно выберем только одну точку
или
.
И
рассмотрим отрезки
,
которые могут иметь один бесконечный
конец (рис. 7).
Рис. 7
-
замкнуто, значит, дополнение
-
открыто (рис. 8).
Рис. 8
Теперь в каждом интервале выберем другие точки следующим образом:
в интервале
где выберем две точки
(
):
,
(рис.
9);
в каждом интервале вида или выберем только одну точку
или
.
Рис. 9
И
рассмотрим отрезки
,
которые могут иметь один бесконечный
конец (рис. 10).
Рис. 10
-
замкнуто, значит, дополнение
-
открыто (рис. 11).
Рис. 11
В каждом интервале выберем еще точки следующим образом:
в интервале , где выберем две точки
(
)
,
;
в каждом интервале вида или выберем только одну точку
или
.
Рассмотрим отрезки
которые могут иметь один бесконечный конец.
-
замкнуто, значит, дополнение
-
открыто.
Продолжим этот процесс не ограниченно.
В
результате в каждом интервале
получим последовательности точек
и (или)
,
причем
,
(рис. 12).
Рис. 12
Т.о.
получаем
.
Рассмотрим
-
открытые множества, значит множество
есть пересечение счетного множества
открытых множеств.
Т.к. - произвольное замкнутое множество, то утверждение доказано.
Решение
При подробном анализе представленного доказательства можно заметить, что в решении содержится ошибочное предположение, а именно, что множества
замкнуты
В результате чего данное доказательство теряет свою силу.
Задача №6
Доказать, что каждое замкнутое множество есть пересечение счетного множества открытых множеств.
Доказательство
Пусть - некоторое замкнутое множество.
Рассмотрим множества
где
Тогда
,
-
открытое множество и
по лемме 1 (стр. 37), а значит
Возьмем
произвольную точку
,
тогда
по следствие 3 (стр. 36).
А
значит можно найти
такое, что
(например:
).
Тогда
ясно, что
,
а значит
Так
как
– произвольная точка, не принадлежащая
множеству
,
значит
Отсюда
получаем, что
,
т.е.
- пересечение счетного множества открытых
множеств.
Утверждение доказано.
Заключение
Основной целью данной работы являлось изучение основных понятий и теорем теории множеств и их применение к выявлению структуры различных числовых множеств. Для достижения этой цели в работе были рассмотрены все исходные понятия и теоремы теории множеств, при этом доказательства наиболее важных теорем и следствий были детально разобраны. Основное внимание было уделено числовым множествам и изучению их структуры, которым была посвящена вся вторая глава.
Важной ю дипломной работы явилось решение ряда интересных задач, которые дают некоторые представление о характере проблем, решаемых в самой теории множеств и ее приложениях.
Теория множеств, хотя и является одной из наиболее молодых отраслей математики, оказала огромное влияние на развитие математики и стала фундаментом целого ряда новых математических дисциплин. Хотелось бы отметить, что некоторые вопросы теории множеств должны быть включены в программы средней школы. Несмотря на высокую степень абстракции, усвоение теории множеств не представляет особых трудностей, так как не требует предварительной подготовки.
Библиография
Бурбаки, Н. Теория множеств [Текст] / Н. Бурбаки.– М.: Мир, 1965.– 272 с.: ил.
Виленкин, Н.Я. Рассказы о множествах [Текст] / Н.Я. Виленкин.– М.: Наука, 1969.– 160 с.: ил.
Кантор, Г. Труды по теории множеств [Текст] / Г. Кантор; Под ред. А.Н. Колмогров, А.П. Юшкевич.– М.: Наука, 1985.– 387 с.
Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин.– 7-е изд.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.– 544 с.
Мирошниченко, П.Н. Что же разрушал парадокс Рассела в системе Фреге? [Текст] / П.Н. Мирошниченко.– СПб., 2000.– 514 с.
Натансон, И.П., Теория функций вещественной переменной [Текст] / И.П. Натансон.–
М.: Гостехиздат, 1974.– 480 с.
Столл, Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории [Текст] / Р.Р. Столл.– М.: Просвещение, 1968.– 232 с.
Френкель, А. Основание теории множеств [Текст] / А. Френкель, И. Бар-Хиллел – М.: Мир, 1966.– 416 с.
Хаусдорф, Ф. Теория множеств [Текст] / Ф. Хаусдорф; под ред. А.Н. Колмогоров, П. С. Александров. – М.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1937. – 287 с.