§ 2. Замкнутые множества.

Рассмотрим определения ряда понятий, тесно связанных с понятием предельной точки.

Определения 1. Пусть Е точечное множество.

1. Множество всех предельных точек Е называется производным множеством для множества Е и обозначается через Е'.

2. Если Е' Е, то множество Е называется замкнутым.

3. Если Е Е', то множество Е называется плотным в себе.

4. Если Е = Е', то множество Е называется совершенным.

5. Множество Е + Е' называется замыканием множества Е и обозначается через .

Таким образом, множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Плотное в себе множество лишено изолированных точек.

Совершенное множество замкнуто к плотно в себе [4; 60].

Теорема 1. Производное множество Е' любого точечного множества Е замкнуто.

Доказательство

Теорема очевидна, если Е' пусто.

Пусть Е' не пусто и х₀ - предельная точка Е'.

Возьмем произвольный интервал , содержащий точку х₀ (рис. 2). По определению предельной точки, в этом интервале найдется точка Е'. Значит, интервал есть интервал, охватывающий предельную точку исходного множества Е, а потому он содержит бесконечное множество точек Е.

( )

Рис. 2

Итак, всякий интервал, содержащий точку х₀ содержит бесконечное множество точек Е, так что точка х₀ есть предельная точка Е. Иначе говоря, Е'. Таким образом, множество Е' содержит все свои предельные точки и, стало быть, замкнуто.

Теорема доказана

Теорема 2. Если то .

Теорема 3. Справедлива формула

Доказательство

1) Так как и , то .

2) Докажем

Пусть . Тогда из + выделяется последовательность различных точек , такая, что .

Если в этой последовательности найдется бесконечное множество точек, входящих в , то будет предельной точкой множества и . Если же среди точек лишь конечное число принадлежит , то .

Таким образом, всегда .

Итак, и , значит .

Теорема доказана

Следствие 1. Замыкание любого множества замкнуто.

Доказательство

Действительно

Следствие доказано.

Следствие 2. Для того чтобы множество Е было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замыканием .

Доказательство

Достаточность этого условия вытекает из предыдущего следствия.

Обратно, пусть множество замкнуто, тогда , откуда и следует, что .

Следствие доказано.

Теорема 4. Сумма конечного числа замкнутых множеств есть множество замкнутое.

Доказательство

Рассмотрим сначала случай двух слагаемых множеств . В силу теоремы 3 (стр. 28), имеем , но, так как то , откуда и следует теорема.

Общий случай исчерпывается способом математической индукции.

Замечание. Сумма бесконечного множества замкнутых множеств может и не быть замкнутым множеством. Рассмотрим множества

.

Все - замкнуты, но их сумма

не замкнута.

Теорема 5. Пересечение любого множества замкнутых множеств есть множество замкнутое.

Доказательство

Пусть - замкнутые множества (отмечены знаком для отличия друг от друга) и - их пересечение. Тогда , откуда следует и тем более . Так как это верно при любом , то , то есть .

Теорема доказана

Лемма 1. Пусть множество Е ограничено сверху (снизу) и ( ), тогда ( ).

Доказательство

Если , то и подавно

Допустим же, что . Так как при каждом е>0 существует такая точка , что , то любой интервал, содержащий точку , содержит и точки множества , которые, очевидно, отличны от , так как . Значит, это предельная точка множества , стало быть, .

Итак, всегда .

Лемма доказана.

Теорема 6. В ограниченном сверху (снизу) замкнутом множестве F есть самая правая (самая левая) точка.

Доказательство

Действительно, пусть . Тогда по лемме .

Теорема доказана.

Определение 2. Пусть - точечное множество, а - некоторая система интервалов. Если для каждого существует интервал такой, что , то говорят, что множество покрыто системой интервалов .

Теорема 7. (Э. Борель). Если замкнутое ограниченное множество покрыто бесконечной системой интервалов , то из последней можно извлечь конечную систему , также покрывающую множество .

Доказательство

Допустим противное.

Пусть из нельзя извлечь никакой конечной системы интервалов, покрывающей множество F (отсюда, между прочим, вытекает, что множество бесконечно).

Заключим F в некоторый отрезок , поскольку F ограничено, и положим

Не может оказаться, чтобы каждое из множеств и могло быть покрыто конечный числом интервалов системы , потому что в этом случае и все множество покрывалось бы конечным числом этих интервалов. Значит, хотя бы одни из отрезков и содержит подмножество , которое не может быть покрыто конечным подмножеством . Обозначим через тот из отрезков, который содержит такое подмножество . При этом, если оба отрезка и содержат такие подмножества , которые не могут быть покрыты конечными подмножествами , то через обозначим только одни из них, какой - безразлично. Ясно, что множество бесконечно.

Положим теперь и обозначим через тот из отрезков и , который содержит подмножество множества , которое не может быть покрытым конечным числом интервалов системы .

В том, что хотя бы один из отрезков и этим свойством обладает, мы убеждаемся так же, как и выше (если они оба им обладают, то через мы обозначим только одни из них).

Продолжая этот процесс, мы построим последовательность вложенных отрезков , обладающих тем свойством, что ни одно из множеств ( ) не может быть покрыто конечным числом интервалов системы (и, стало быть, каждое из этих множеств бесконечно).

Так как длина отрезка , равная , с возрастанием стремится к нулю, то тогда по теореме Кантора о вложенных отрезках существтует точка х₀, общая для всех отрезков , причем .

Покажем, что точка принадлежит нашему множеству . С этой целью выберем в множестве точку , затем в (бесконечном) множестве выберем точку , отличную от , затем в множестве выберем точку , отличную от , ни от , и так далее.

В результате мы получим последовательность , различных точек множества , причем . Но тогда, очевидно, , так что есть предельная точка множества . Но так как множество замкнуто, значит, действительно .

Так как множество покрыто системой , то в системе существует интервал такой, что . Если достаточно велико, то очевидно и тем более , то есть множество покрывается одним интервалом из , а это противоречит самому определению отрезка .

Теорема доказана

Замечание. Теорема перестает быть верной, если отбросить условие ограниченности или условие замкнутости множества . Рассмотрим множество N всех натуральных чисел. Оно замкнуто (так как N’=0), но неограниченно. Рассмотрим систему всех интервалов вида , (n=1,2,3,…) покрывающую множество N. Так как каждый из интервалов системы содержит только одну точку множества N, то ясно, что никакая конечная система этих интервалов не в состоянии покрыть бесконечного множества N. Итак, условие ограниченности существенно.

Рассмотрим другое множество Е всех чисел вида

:

Это множество ограничено, но не замкнуто. Построим около каждой точки интервал , содержащий эту точку, но настолько малый, чтобы он не содержал никакой другой точки множества , и обозначим через систему всех интервалов . Ясно, что система покрывает множество Е, но те же соображения, что и в предыдущем примере, показывают, что не покрывается никаким подмножеством . Значит, условие замкнутости также существенно.

Теорема 8. Пусть Р замкнутое множество и последовательность точек

Если , то

Доказательство

Если последовательность содержит бесконечное множество различных точек, то есть предельная точка Р и , если же в последовательности лишь конечное число различных точек, то, как легко понять, все члены последовательности, начиная с некоторого, совпадают с и